figures isopérimétriques

Imaginez une corde fermée de longueur 20 mètres. Elle peut entourer des formes très différentes : un rectangle de 4 mètres sur 6, un carré de 5 mètres de côté ou un cercle. Toutes utilisent la même longueur de bord : elles sont isopérimétriques.

Leur surface intérieure n'est pourtant pas la même. Le problème isopérimétrique demande quelle forme enferme le plus d'aire sans allonger la corde. Dans le plan, le disque l'emporte ; si l'on impose un rectangle, le meilleur choix est le carré.

Deux figures planes sont isopérimétriques lorsque leurs frontières ont la même longueur. Pour des domaines du plan dont le bord est une courbe fermée rectifiable, le problème classique fixe cette longueur, appelée périmètre, puis cherche l'aire maximale enfermée. Si P désigne le périmètre et A l'aire, l'inégalité isopérimétrique s'écrit :

L'égalité n'est atteinte que par un disque, à un déplacement, une rotation ou une symétrie près. Le cercle en est la frontière. Si l'on restreint les figures admises, l'optimiseur change de nom : le carré parmi les rectangles et le triangle équilatéral parmi les triangles. Le récit de Didon traduit la même question avec une corde de longueur fixée ; la source situe l'achèvement d'une démonstration rigoureuse en 1895 et l'associe au théorème de Minkowski. En dimension supérieure, le périmètre est remplacé par la mesure de l'hypersurface, le volume remplace l'aire et la boule euclidienne est optimale.

Une corde de 20 m forme d'abord un rectangle de 4 m sur 6 m. On compare son aire à celles du carré et du disque construits avec la même corde. Données : le périmètre vaut 20 m ; les côtés du rectangle valent 4 m et 6 m ; π vaut environ 3,1416.

1. Le rectangle a bien pour périmètre 2 × (4 + 6) = 20 m. Son aire vaut 4 × 6 = 24 m².

2. Le carré de même périmètre a quatre côtés de 20 ÷ 4 = 5 m. Son aire vaut 5 × 5 = 25 m².

3. Pour le disque, le rayon vaut 20 ÷ (2π) = 10/π m. Son aire exacte vaut 100/π m², soit environ 31,83 m².

Le contrôle est direct : les trois périmètres valent 20 m, tandis que 24 < 25 < 31,83. Le carré maximise donc l'aire dans la famille des rectangles, mais le disque fait mieux lorsque toutes les formes planes admissibles sont comparées.

Pour comparer des formes, on commence par vérifier qu'elles ont réellement le même périmètre. Si les longueurs de bord diffèrent, une aire plus grande ne révèle aucune efficacité particulière : il faut d'abord ramener les formes au même périmètre.

Lorsqu'une forme doit rester rectangulaire, on rapproche ses deux dimensions. À périmètre fixé, le carré est préférable dès que le seul critère est l'aire enfermée ; le rectangle 4 × 6 de l'exemple gagne 1 m² en devenant un carré 5 × 5.

Si aucune famille particulière n'est imposée dans le plan, on compare le résultat au disque de même périmètre. Ce repère donne l'aire maximale théorique, sans affirmer qu'un terrain, un objet ou une construction réelle peut adopter cette forme.

Isopérimétrique et isométrique. Deux figures isopérimétriques partagent seulement la longueur de leur bord. Deux figures isométriques ont les mêmes distances internes et donc la même forme à un déplacement ou une symétrie près. Le rectangle 4 × 6 et le carré 5 × 5 ont chacun un périmètre de 20 m, mais ils ne sont pas isométriques.

Même périmètre et même aire. L'une de ces égalités n'entraîne pas l'autre. Dans l'exemple, le rectangle et le carré ont le même périmètre, mais leurs aires valent respectivement 24 m² et 25 m². Le critère qui tranche est donc la grandeur effectivement conservée.

Une classe imposée change la conclusion. Le carré est optimal parmi les rectangles, pas parmi toutes les figures planes. Le symptôme du piège est une comparaison entre 25 m² pour le carré de périmètre 20 m et environ 31,83 m² pour le disque correspondant. Il faut annoncer la famille de figures avant de chercher le maximum.

La frontière et la surface ne sont pas le même objet. Le cercle est une courbe ; le disque est la région qu'elle enferme. Dire que « le cercle a une aire maximale » est un raccourci. Pour être précis, le cercle fournit le bord et le disque porte l'aire.

Une longueur de bord doit être définie. Une courbe fermée trop irrégulière peut ne pas avoir de longueur finie, et une courbe qui se croise rend la région « intérieure » ambiguë. Le cadre classique retient une frontière rectifiable qui délimite une aire ; hors de ce cadre, il faut préciser les objets et les mesures employés.

Le cas nul est dégénéré. Pour un périmètre égal à 0, aucune région plane d'aire positive n'est enfermée. Les comparaisons usuelles supposent donc un périmètre strictement positif.

Le problème de Didon. Le récit géométrique prolonge l'idée d'une longueur fixée utilisée pour enfermer la plus grande surface possible.

Le même principe change d'échelle en dimension supérieure : une mesure de surface est fixée et l'on maximise le volume enfermé. La boule euclidienne joue alors le rôle tenu par le disque dans le plan.