inégalité isodiamétrique

Imaginez une corde de 10 cm qui doit pouvoir relier n'importe quels deux points d'une forme plane. On peut dessiner un disque, un rectangle ou une forme irrégulière sans jamais dépasser cette distance. Le disque enferme alors la plus grande aire possible.

L'inégalité isodiamétrique transforme cette intuition en règle générale : à diamètre égal, la boule est championne du volume. Ici, la boule comprend tout son intérieur, contrairement à la sphère, qui n'en est que la frontière.

L'inégalité isodiamétrique compare le volume des ensembles mesurables de l'espace euclidien de dimension n. Le diamètre d'un ensemble E est la borne supérieure des distances entre deux de ses points. On le note diam(E). Le nombre ω_n désigne le volume de la boule unité dans cette dimension.

Si E a un diamètre fini D, son volume, noté |E|, vérifie :
La boule de rayon D/2 atteint cette borne. L'égalité caractérise la boule à des modifications de volume nul près.

Dans le plan, le volume est l'aire et ω₂ = π. Dans l'espace usuel, le volume maximal est celui d'une boule de rayon D/2. Le résultat porte sur la mesure de l'ensemble entier, pas sur la longueur ou l'aire de sa frontière.

Soit E un ensemble mesurable de l'espace euclidien de dimension n, et soit D son diamètre fini. Alors :
Le membre de droite est le volume de la boule de diamètre D. Ainsi, connaître seulement le diamètre suffit à donner une borne supérieure du volume, et la boule atteint cette borne.

Le cadre est un espace euclidien de dimension n muni de sa distance et de son volume usuels. L'ensemble doit être mesurable, afin que son volume soit défini, et son diamètre D doit être fini. La comparaison se fait à dimension et diamètre identiques.

La convexité et la connexité ne sont pas exigées : l'inégalité s'applique aussi à une forme trouée ou composée de plusieurs morceaux. En revanche, pour un ensemble non mesurable, l'expression « volume de E » n'est pas disponible dans ce cadre ; il faut d'abord choisir une notion de mesure adaptée. Avec une autre distance que la distance euclidienne, la forme extrémale peut changer.

On compare dans le plan un disque et un rectangle. Le diamètre imposé est 10 cm. Le rectangle mesure 8 cm sur 6 cm ; ses points les plus éloignés sont deux sommets opposés.

1. Le rayon du disque vaut 10 ÷ 2 = 5 cm.
2. Son aire maximale vaut π × 5² = 25π cm², soit environ 78,54 cm².
3. La diagonale du rectangle vaut $\sqrt{8^2+6^2}=10\backslash sqrt\{8^2+6^2\}=10$ cm : son diamètre respecte bien la contrainte.
4. Son aire vaut 8 × 6 = 48 cm².

Le contrôle est direct : 48 < 25π. Le rectangle contient donc moins d'aire que le disque malgré leur même diamètre de 10 cm. La figure matérialise cette comparaison sans prétendre que le rectangle est la seule autre forme possible.

Pour borner une aire à partir d'une largeur maximale connue, on mesure la plus grande distance entre deux points. Un diamètre de 10 cm donne immédiatement l'aire plafond 25π cm², même si le contour est irrégulier.

Pour vérifier qu'une forme atteint ce plafond, comparer les aires ne suffit pas. Il faut aussi reconnaître une boule, à des parties de volume nul près. Si l'on connaît plutôt le périmètre, l'inégalité isopérimétrique est l'outil adapté : elle impose une autre contrainte.

Inégalité isopérimétrique. Elle borne l'aire d'une figure plane à périmètre fixé et, en dimension supérieure, le volume à périmètre, ou mesure de surface pertinente, fixé. L'inégalité isodiamétrique fixe au contraire le diamètre. Deux rectangles peuvent avoir le même périmètre sans avoir le même diamètre.

Boule et sphère. La boule contient son intérieur et possède un volume positif. La sphère est seulement sa frontière. Dans le plan, la distinction correspond à celle entre le disque et le cercle. À diamètre fixé, c'est la boule, ou le disque, qui maximise le volume, ou l'aire.

Diamètre nul. Un ensemble de diamètre 0 contient au plus un point. Son volume en dimension positive est nul, comme la borne fournie par l'inégalité.

Égalité au sens de la mesure. Retirer à une boule un nombre fini de points ne change pas son volume. Il serait donc trop strict d'exiger que tout cas d'égalité coïncide point par point avec la boule.

Distance différente. La conclusion désigne une boule pour la distance employée. Remplacer la distance euclidienne par une autre norme tout en conservant mentalement une boule ronde mélange deux cadres ; il faut redéfinir le diamètre et la forme unité ensemble.

Ensemble non convexe. Un trou ou plusieurs composantes n'empêchent pas d'appliquer la borne. Ces irrégularités n'offrent aucun moyen de dépasser le volume de la boule de même diamètre.

En dimension n, toute l'information dimensionnelle est concentrée dans ω_n, le volume de la boule unité. L'inégalité se lit alors comme une loi d'échelle : multiplier toutes les distances par un facteur t multiplie le volume maximal par tⁿ. Cette homogénéité explique l'exposant n dans la formule.