Logique et ensemblesThéorème · Glossaire
théorème de Banach-Tarski
Dans un espace réel de dimension au moins 3, sous l’axiome du choix, deux ensembles bornés ayant chacun un intérieur non vide peuvent être partitionnés en un même nombre fini de parties, appariées deux à deux par des isométries directes. Ainsi, une boule peut être décomposée puis réassemblée en deux boules identiques à l’originale : il est impossible de mesurer toutes les parties d’une manière compatible avec l’additivité et les déplacements, et aucune matière n’est réellement créée.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer une équidecomposition abstraite d’une découpe matérielle.
- Repérer le seuil de dimension 3 et les hypothèses sur les ensembles.
- Relier l’apparente duplication de volume aux parties non mesurables et à l’axiome du choix.
En clair
Imaginez une boule que l’on sépare en un nombre fini de parties, puis que l’on déplace sans les déformer. Le théorème affirme qu’en dimension trois ou davantage, ces parties peuvent être réassemblées en deux boules identiques à la première.
Aucune matière n’est pourtant créée. La décomposition ne peut pas être constituée uniquement d’ensembles de points mesurables, comme le seraient des morceaux solides que l’on pourrait découper. On ne peut donc pas attribuer à toutes les parties un volume de la manière habituelle.
Définition
Deux ensembles sont équidecomposables lorsqu’ils admettent des partitions finies dont les parties correspondantes se déduisent les unes des autres par des déplacements. Dans un espace réel de dimension n au moins égale à 3, le théorème concerne deux ensembles bornés B et B’, chacun pourvu d’un point intérieur.
Il existe alors un entier fini m, des parties disjointes A₁, …, Am de B et des parties disjointes A’₁, …, A’m de B’, telles que les unions reconstituent les deux ensembles. Pour chaque indice i compris entre 1 et m, un déplacement transforme Ai en A’i. On note gi l’isométrie directe correspondante.
Dans le plan, la version donnée pour les polygones a une autre conclusion : l’équidecomposabilité en pièces congruentes équivaut à l’égalité des aires. En dimension au moins égale à 3, les parties paradoxales sont non mesurables et la démonstration utilise essentiellement l’axiome du choix. Ce résultat est usuellement appelé théorème ou paradoxe de Banach-Tarski ; sa démonstration s’appuie notamment sur le paradoxe de Hausdorff et sur une décomposition de la sphère.
Le principe
Si n est un entier au moins égal à 3 et si B et B’ sont deux ensembles bornés de l’espace réel de dimension n, chacun contenant un point intérieur, alors B et B’ sont équidecomposables par un nombre fini de déplacements. Autrement dit, chacun se partitionne en le même nombre fini de parties disjointes, et chaque partie de B est transformée en la partie correspondante de B’ par une isométrie directe. Ce résultat n’est pas valable sur la droite ni dans le plan.
Quand l'utiliser
Le cadre spatial exige une dimension n au moins égale à 3. Les deux ensembles doivent être bornés et posséder chacun au moins un point intérieur. La conclusion porte sur une partition finie en parties disjointes, appariées par des isométries directes. Elle ne garantit pas que ces parties aient un volume défini.
Le plan fournit le contre-cas décisif. Pour deux polygones plans, on ne peut pas produire le phénomène de duplication spatiale : leur équidecomposabilité en pièces congruentes exige qu’ils aient la même aire. Sur la droite ou dans le plan, il faut donc employer les résultats propres aux découpages de dimension 1 ou 2, et non l’énoncé paradoxal valable à partir de la dimension 3.
Un exemple, pas à pas
On considère une boule dans l’espace usuel. Les données sont sa dimension, égale à 3, son caractère borné et la présence de points intérieurs. L’objectif est d’obtenir deux boules de même volume que la boule initiale.
Étape 1. La dimension 3 autorise l’emploi de la version spatiale du théorème. Une boule satisfait aussi les deux conditions géométriques requises : elle est bornée et possède un intérieur.
Étape 2. Le théorème fournit une partition en un nombre fini de parties disjointes. L’axiome du choix intervient dans cette construction. La décomposition ne peut pas être entièrement mesurable : il est impossible d’attribuer à toutes les parties des volumes ordinaires compatibles avec l’additivité et les déplacements.
Étape 3. On applique à chaque partie le déplacement prévu, sans déformation, puis on regroupe les images. La recomposition donne deux boules de même volume que l’originale. Le schéma associé montre uniquement l’organisation logique de cette recomposition ; il ne prétend pas dessiner les parties non mesurables.
Le contrôle consiste à vérifier que le nombre de parties reste fini, que chaque transformation est une isométrie directe et que les parties ne sont jamais traitées comme des solides mesurables. C’est précisément cette dernière précaution qui dissipe l’apparente création de volume.
En pratique
Face à l’image d’une boule « doublée », le bon réflexe est de demander si toutes les parties ont un volume. Ici, la décomposition comporte nécessairement des parties non mesurables au sens de la mesure usuelle ; l’addition intuitive des volumes ne peut donc pas être appliquée à l’ensemble des pièces.
Pour déterminer quelle version utiliser, on regarde d’abord la dimension. Dans le plan, l’aire commande l’équidecomposabilité des polygones. À partir de la dimension 3, l’énoncé spatial devient pertinent pour des ensembles bornés ayant un intérieur.
Lorsqu’une démonstration invoque une sélection simultanée parmi de nombreux ensembles, il faut repérer le rôle de l’axiome du choix. Le lien entre choix, non-mesurabilité et déplacements explique la portée logique du résultat.
À ne pas confondre
Équidecomposabilité et congruence. Deux ensembles congruents se superposent par un seul déplacement. Deux ensembles équidecomposables peuvent exiger plusieurs parties et plusieurs déplacements. Une boule et les deux boules de la formulation intuitive ne sont pas congruentes, mais elles illustrent une équidecomposabilité paradoxale.
Égalité de volume et équidecomposabilité. Pour les polygones du plan, l’égalité des aires caractérise l’équidecomposabilité en pièces congruentes. Dans l’énoncé spatial, ce critère ne tranche plus, car les parties employées sont non mesurables. Chercher à additionner leur volume revient donc à appliquer un outil qui n’est pas défini.
Limites et pièges
Seuil de dimension. Le phénomène spatial commence à la dimension 3. Sur la droite ou dans le plan, annoncer la duplication d’une boule ou d’un disque par le même théorème est incorrect ; il faut revenir aux résultats adaptés à ces dimensions.
Fausse découpe physique. Si les parties sont imaginées comme des morceaux solides ayant chacun un volume, leur somme paraît contradictoire. Il faut les considérer comme des ensembles non mesurables, impossibles à réaliser par une découpe matérielle ordinaire.
Axiome du choix oublié. Présenter la décomposition comme une construction géométrique élémentaire masque une hypothèse essentielle. La démonstration repose sur l’axiome du choix ; cette dépendance doit accompagner toute interprétation du paradoxe.
Mesure universelle supposée. Le résultat interdit une mesure définie sur toutes les parties bornées qui serait simplement additive, invariante par déplacement et prendrait une valeur finie strictement positive sur une boule. Pour éviter le piège, il faut vérifier le domaine de définition et la finitude de la mesure avant de raisonner sur le volume.
Pour aller plus loin
L’axiome du choix permet d’approfondir l’hypothèse logique essentielle à la construction des parties non mesurables mobilisées par le théorème.
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