théorème de Bolyai-Gerwien

Imaginez un carré en carton. Vous le coupez en quelques morceaux aux bords droits, puis vous déplacez ces morceaux sans les étirer ni en perdre. Le théorème affirme qu’ils peuvent former n’importe quel autre polygone ayant exactement la même aire.

Ainsi, un carré de côté 3 peut être découpé en deux triangles, puis réassemblé en un triangle de base 6 et de hauteur 3. La silhouette change, mais la surface totale reste égale à 9.

Deux polygones du plan sont dits équidecomposables lorsque le premier peut être partagé en un nombre fini de pièces polygonales qui, déplacées sans être déformées, reconstituent exactement le second. Les pièces ne sont ni ajoutées, ni retirées, ni redimensionnées.

Le théorème de Bolyai-Gerwien caractérise complètement cette relation : deux polygones plans sont équidecomposables si et seulement s’ils ont la même aire. L’égalité des aires est nécessaire, puisque chaque pièce conserve son aire pendant le déplacement. Elle est aussi suffisante, ce qui constitue le contenu décisif du théorème : une dissection polygonale finie existe dès que les deux aires sont égales.

La forme, le périmètre et le nombre de côtés peuvent donc changer au cours du réassemblage. En revanche, l’énoncé porte sur des polygones du plan et sur un nombre fini de pièces polygonales. Il ne s’étend pas tel quel aux solides de dimension trois ou davantage.

Soient deux polygones du plan, notés P et Q. Si P et Q ont la même aire, alors il existe un découpage de P en un nombre fini de pièces polygonales que l’on peut réassembler pour obtenir Q. Réciproquement, si un tel découpage existe, leurs aires sont égales.

Le critère s’écrit $\mathrm{aire}(P)=\mathrm{aire}(Q)⟺P\sim Q\backslash operatorname\{aire\}(P)=\backslash operatorname\{aire\}(Q)\backslash ;\backslash Longleftrightarrow\backslash ;P\backslash sim\; Q$, où le symbole $P\sim QP\backslash sim\; Q$ signifie que P et Q sont équidecomposables.

Le résultat s’applique à deux régions polygonales du plan. Il faut pouvoir comparer leurs aires dans la même unité et constater une égalité exacte. Le découpage recherché doit comporter un nombre fini de pièces, chacune ayant encore une frontière polygonale. Le réassemblage conserve chaque pièce entière.

Si les aires diffèrent, même légèrement, aucun découpage de ce type ne peut réussir : la somme des aires des pièces ne change pas. Si l’une des figures a une frontière courbe, comme un disque, elle ne relève pas directement de cet énoncé ; il faut employer un autre résultat ou travailler avec une approximation polygonale clairement annoncée.

On part d’un carré de côté 3. On veut obtenir un triangle isocèle de base 6 et de hauteur 3. La construction se visualise par deux pièces triangulaires qui changent de position sans changer de dimensions.

Données. Le carré a pour côté 3. Le triangle visé a pour base 6 et pour hauteur 3.

1. L’aire du carré vaut 3 × 3 = 9.

2. Une diagonale partage le carré en deux triangles rectangles isocèles congruents. Chaque pièce a pour aire 9 ÷ 2 = 4,5.

3. On place les deux triangles côte à côte, avec un sommet commun en hauteur. Leur réunion forme le triangle visé.

4. Le contrôle donne (6 × 3) ÷ 2 = 9. Les deux aires sont égales et les deux pièces recouvrent le triangle sans chevauchement ni vide : ce réassemblage vérifie directement l’équidecomposabilité.

Pour décider si deux polygones peuvent être reliés par une dissection finie, on commence par calculer leurs aires dans la même unité. Si elles diffèrent, la recherche s’arrête : aucun réassemblage des mêmes pièces n’est possible.

Si les aires sont égales, le théorème garantit l’existence d’un découpage, mais il ne fournit pas à lui seul le découpage le plus court ni le plus commode. Pour construire une solution concrète, on cherche des traits de coupe qui produisent des triangles ou d’autres pièces faciles à déplacer et à apparier.

Équidecomposable ne signifie pas congruent. Deux figures congruentes coïncident après le déplacement d’une seule pièce : la figure entière. Un carré de côté 3 et un triangle de base 6 et de hauteur 3 ne sont pas congruents, mais la dissection en deux triangles montre qu’ils sont équidecomposables.

Une égalité approchée ne suffit pas. Deux aires annoncées toutes deux comme « environ 9 » peuvent être différentes. Il faut comparer les valeurs exactes ou tenir compte explicitement de la précision des mesures avant d’invoquer le théorème.

Le nombre de pièces doit être fini. Une transformation qui exige une infinité de fragments ne prouve pas l’équidecomposabilité au sens du théorème. Il faut exhiber une dissection finie ou s’appuyer sur la garantie d’existence donnée par le résultat.

La dimension est essentielle. L’aire suffit à classer les polygones dans le plan, mais l’analogue fondé sur le seul volume échoue en dimension supérieure ou égale à trois. Le théorème ne doit donc pas être appliqué tel quel à des polyèdres.

Le puzzle de Dudeney prolonge cette idée par une dissection explicite entre deux polygones de même aire.

La dissection de Perigal montre comment un découpage géométrique peut rendre visible une conservation d’aire.