puzzle de Dudeney

Imaginez un triangle équilatéral découpé en quatre morceaux qui restent attachés. Au lieu de les détacher et de chercher où les replacer, on fait tourner chaque morceau autour de ses charnières. Le contour du triangle se défait peu à peu, puis les mêmes pièces dessinent un carré.

Aucun morceau n'est ajouté, retiré ou déformé. L'aire totale reste donc la même, même si le contour change. Le puzzle rend visible une idée géométrique : deux polygones peuvent avoir des formes différentes tout en étant composés exactement des mêmes pièces.

Le puzzle de Dudeney est une dissection articulée attribuée à Henry Ernest Dudeney. La figure de départ est un triangle équilatéral et la figure d'arrivée un carré de même aire. Le triangle est partagé en exactement quatre pièces. Ces pièces restent reliées par des charnières, de sorte que la transformation s'effectue par des rotations autour des articulations, sans séparation complète.

La propriété mise en jeu est l'équidécomposabilité de deux polygones : un polygone peut être découpé en un nombre fini de pièces qui, réassemblées sans chevauchement ni lacune, forment l'autre. Ici, le découpage est soumis à une contrainte supplémentaire : les quatre pièces doivent aussi rester attachées pendant le passage d'une configuration à l'autre.

L'égalité des aires découle de la conservation de chaque pièce. Une rotation rigide ne change ni sa forme ni son aire, et les deux configurations utilisent le même ensemble de quatre pièces. Cette égalité est nécessaire, mais elle ne décrit pas à elle seule le puzzle : il faut également disposer du découpage et des charnières qui rendent les deux assemblages possibles.

Considérons un exemplaire du puzzle déjà découpé, articulé et dont la transformation est établie. Les données sont les suivantes : une configuration initiale en triangle équilatéral, exactement quatre pièces reliées par des charnières et une configuration finale attendue en carré. La figure associée compare seulement les deux figures, qui ont la même aire ; elle ne constitue pas un patron de découpe et ne donne pas l'ordre des rotations.

Ce protocole contrôle le modèle ; il ne permet pas de reconstituer le mouvement sans disposer de l'exemplaire articulé.
1. Dans la configuration initiale, on vérifie que les quatre pièces remplissent le triangle sans lacune ni chevauchement.
2. Pendant la transformation propre à cet exemplaire, on vérifie que chaque pièce pivote autour de ses charnières, sans être détachée ni déformée.
3. Dans la configuration finale, on vérifie que les bords extérieurs forment quatre côtés et quatre angles droits.
4. On vérifie enfin que les quatre pièces remplissent le carré sans lacune ni chevauchement.

Le résultat attendu est un carré composé des mêmes quatre pièces que le triangle équilatéral. Le protocole permet de contrôler un exemplaire transformable : on compte quatre pièces dans chaque configuration, on suit chaque charnière pendant le mouvement et on inspecte le contour final. Il ne fournit ni le patron ni la séquence des rotations. Comme chaque pièce a seulement subi une rotation rigide, la somme de leurs aires est inchangée ; le triangle et le carré ont donc la même aire.

Avec un modèle matériel, le geste essentiel consiste à déplacer les pièces uniquement par rotation autour des charnières. Si l'on veut chercher librement plusieurs assemblages, des pièces séparées sont plus commodes ; le modèle articulé est préférable pour observer une transformation continue sans démontage.

Pour expliquer l'équidécomposabilité, on peut suivre une même pièce depuis le triangle jusqu'au carré. Le puzzle est utile lorsque l'on veut rendre visible la conservation de l'aire par réassemblage. Si seul le calcul d'une aire est recherché, les formules usuelles du triangle et du carré sont plus directes.

Pour contrôler une reproduction, on vérifie d'abord le nombre de pièces et la continuité des charnières, puis l'absence de trou et de chevauchement dans les deux formes. Comparer seulement les contours ne suffit pas : le même découpage articulé doit réellement produire les deux polygones.

Équidécomposabilité et congruence. Deux figures congruentes se superposent par un déplacement rigide, sans découpage. Le triangle équilatéral et le carré du puzzle ne se superposent pas ainsi ; ce sont leurs quatre pièces qui permettent de passer de l'un à l'autre.

Dissection articulée et puzzle à pièces libres. Dans un puzzle à pièces libres, chaque morceau peut être déplacé indépendamment. Dans le puzzle de Dudeney, les charnières restent en place : une transformation qui exige de détacher une pièce ne satisfait donc pas la propriété annoncée.

Même aire ne suffit pas. Constater que deux polygones ont la même aire ne prouve pas qu'un découpage donné en quatre pièces articulées transforme l'un en l'autre. Il faut exhiber le découpage, conserver les charnières et obtenir les deux contours sans lacune ni chevauchement.

Quatre pièces signifie exactement quatre. Une solution en trois ou cinq morceaux peut illustrer une autre dissection, mais ce n'est pas la construction décrite ici. Le contrôle consiste à suivre les quatre morceaux dans les deux configurations, sans compter les charnières comme des pièces.

Un modèle physique n'est jamais parfaitement idéal. L'épaisseur des traits, le jeu des charnières ou une découpe imprécise peuvent produire un léger jour ou un petit chevauchement. On juge alors l'accord à la précision de fabrication ; dans le modèle géométrique, les bords coïncident exactement.

Une articulation ne doit ni étirer ni retourner une pièce. Le passage autorisé repose sur des rotations rigides autour des charnières. Si un morceau est déformé, détaché ou retourné hors du plan, la conservation décrite par le puzzle n'est plus celle de la construction plane.

La fiche dissection de Perigal présente une autre dissection géométrique et permet de comparer son objectif avec celui du puzzle de Dudeney.

La fiche unités de mesure d'aire précise comment exprimer et comparer la grandeur qui reste inchangée entre les deux formes.