puzzle de Pythagore

On dessine un carré sur chacun des trois côtés d'un triangle rectangle, puis on découpe celui qui borde le plus long côté. Les morceaux peuvent être déplacés, tournés ou retournés pour remplir ensemble les deux autres carrés, sans trou ni chevauchement.

Ce jeu de formes rend une égalité visible : l'aire du grand carré est exactement la somme des aires des deux petits. Le puzzle ne mesure donc pas seulement les côtés ; il fait voir le théorème de Pythagore par une conservation d'aire.

Un puzzle de Pythagore est une dissection géométrique associée à un triangle rectangle. La longueur du premier côté de l'angle droit est notée a, celle du second est notée b et la longueur de l'hypoténuse, le côté opposé à l'angle droit, est notée c. Les carrés construits sur ces côtés ont respectivement pour aires a², b² et c².

Dans la construction illustrée ici, quatre copies du même triangle rectangle sont disposées de deux façons dans des carrés extérieurs identiques, sans lacune ni recouvrement. Une disposition laisse le carré d'aire c² ; l'autre laisse les deux carrés d'aires a² et b². Comme les carrés extérieurs ont la même aire et contiennent les mêmes quatre triangles, les régions restantes ont la même aire : le puzzle matérialise l'identité $c^2=a^2+b^{2}c^2=a^2+b^2$.

Il existe plusieurs découpages possibles : le tracé et le nombre de pièces ne définissent pas à eux seuls le puzzle. Les propriétés essentielles sont l'angle droit du triangle, la conservation du même ensemble de pièces et le pavage sans lacune ni recouvrement.

On rencontre ce puzzle sur une feuille de géométrie, dans un manuel ou sous la forme de pièces à manipuler. Quatre marqueurs permettent de le reconnaître : un triangle porte un angle droit ; un carré est construit extérieurement sur chacun de ses côtés ; des traits découpent au moins l'un des carrés ; les mêmes pièces apparaissent dans deux assemblages.

Le support encode une relation d'aires. Les couleurs et l'orientation facilitent le suivi des morceaux, mais ne portent pas la preuve : ce sont la congruence des pièces et l'absence de trou ou de chevauchement qui garantissent la conservation de l'aire.

La grandeur à lire est l'aire des carrés, et non leur seule largeur apparente. 1. Repérez l'angle droit et les deux côtés qui le forment. 2. Identifiez l'hypoténuse, toujours opposée à cet angle. 3. Associez à chaque côté le carré construit sur lui. 4. Suivez chaque pièce d'un assemblage à l'autre et vérifiez que toutes sont utilisées une seule fois.

La convention décisive est de comparer le même ensemble de pièces : une translation, une rotation ou un retournement conserve leur aire. L'œil peut croire que deux silhouettes de même contour ont le même contenu. Le bon réflexe consiste plutôt à contrôler les côtés correspondants des morceaux, puis l'absence de lacune et de recouvrement.

Prenons un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent 3 cm et 4 cm, et dont l'hypoténuse mesure 5 cm. La figure associée présente deux décompositions exactes d'un même carré de côté 7 cm avec quatre copies de ce triangle.

Données : premier côté, a = 3 cm ; second côté, b = 4 cm ; hypoténuse, c = 5 cm. Les carrés construits sur ces trois côtés ont pour aires respectives 9 cm², 16 cm² et 25 cm².

1. Le carré du premier côté a pour aire 3 × 3 = 9 cm².
2. Le carré du second côté a pour aire 4 × 4 = 16 cm².
3. Leur aire totale vaut 9 + 16 = 25 cm².
4. Le carré de l'hypoténuse a pour aire 5 × 5 = 25 cm².

Le contrôle numérique donne $3^2+4^2=9+16=25=5^{2}3^2+4^2=9+16=25=5^2$. Le contrôle géométrique donne la même conclusion : dans les deux décompositions du carré de côté 7 cm, les quatre triangles occupent la même aire ; les régions restantes ont donc des aires égales, soit 25 cm² d'un côté et 9 + 16 cm² de l'autre.

En classe, des pièces cartonnées permettent de vérifier physiquement l'égalité des aires. Si l'objectif est seulement de calculer une longueur inconnue, l'application numérique du théorème est plus rapide ; le puzzle est préférable pour rendre visible la raison de la formule.

Pour contrôler un découpage imprimé, on apparie les pièces par leurs longueurs et leurs angles avant de comparer les assemblages. Lorsque des mesures au réglet laissent un doute, une construction géométrique exacte ou un fichier vectoriel est préférable à une conclusion fondée sur l'apparence.

Pour présenter une preuve visuelle, on peut colorer de la même façon les pièces correspondantes. Si le nombre de morceaux rend leur suivi difficile, la preuve par quatre triangles congruents dans un même carré offre une alternative plus lisible, tout en reposant sur la même conservation d'aire.

Un tangram. Un tangram impose sept pièces déterminées et permet de composer de nombreuses silhouettes. Un puzzle de Pythagore peut avoir d'autres nombres et formes de pièces ; son critère est la reconstitution des carrés associés à un triangle rectangle. Une silhouette animale composée de sept tans relève donc du tangram, pas de cette preuve.

Une simple vérification numérique. Calculer 3² + 4² = 5² confirme un cas du théorème, mais ne constitue pas un puzzle. Il faut un découpage et un réassemblage exacts des mêmes pièces pour parler de preuve par dissection.

Sans angle droit, la conclusion change. Pour un triangle dont l'angle considéré n'est pas droit, l'aire du carré opposé n'est généralement pas la somme des deux autres. Le symptôme est que les pièces prévues ne pavent plus exactement les deux carrés ; il faut alors employer une relation adaptée, comme la loi des cosinus.

Une approximation matérielle n'est pas une égalité. Avec des pièces découpées à la main, une fente de 1 mm peut venir du tracé ou masquer une construction fausse. Il faut raisonner sur les longueurs et les angles exacts du modèle, puis interpréter les écarts selon la précision de la découpe.

Une image convaincante ne suffit pas. Une preuve par dissection doit établir que les pièces des deux pavages sont congruentes et exhaustives. Une légère déformation ou un chevauchement presque invisible peut produire une fausse preuve ; on contrôle donc les coordonnées, les côtés et les angles.

Le triangle doit être non dégénéré. Si a = 0 ou b = 0, les trois sommets ne forment plus un véritable triangle et l'un des carrés se réduit à une aire nulle. L'identité numérique subsiste à la limite, mais le puzzle géométrique ordinaire perd une de ses régions.

L'article Le théorème de Pythagore… avant Pythagore ! replace cette relation géométrique dans une histoire plus ancienne que son attribution usuelle.

La fiche équation de Pythagore prolonge le cas 3–4–5 vers l'étude des solutions entières de la relation entre trois carrés.