tangram

Imaginez un carré découpé en sept pièces. Vous pouvez déplacer et tourner ces pièces pour faire apparaître un chat, un personnage ou une forme abstraite. Chaque silhouette emploie pourtant toujours le même matériel : cinq triangles, un carré et un parallélogramme.

Le défi ne consiste pas à empiler les pièces. Elles doivent se toucher sans se chevaucher ni laisser de trou. Comme aucune pièce n’est ajoutée ou retirée, toutes les silhouettes complètes gardent la même aire que le carré de départ.

Le tangram est un jeu de dissection géométrique d’origine chinoise, traditionnellement surnommé « les sept plaques de l’habileté ». Ses sept pièces, appelées tans, proviennent d’un même carré. Le jeu canonique comprend deux grands triangles rectangles isocèles, un triangle rectangle isocèle moyen, deux petits triangles rectangles isocèles, un carré et un parallélogramme.

Pour un carré de côté 4, les deux grands triangles ont chacun une aire de 4. Le triangle moyen, le carré et le parallélogramme ont chacun une aire de 2. Chacun des deux petits triangles a une aire de 1. Ces valeurs totalisent 16, qui est aussi l’aire du carré de côté 4. Une silhouette de tangram utilise les sept tans sans chevauchement ni espace vide ; elle conserve donc cette aire, même si son contour change.

La recomposition s’effectue par des transformations qui conservent longueurs et angles, notamment des translations, des rotations et, si le retournement est autorisé, des symétries. Le tangram sert ainsi de jeu récréatif et de support artistique ou pédagogique pour explorer la visualisation spatiale, la créativité et l’équivalence des aires.

On veut vérifier que les sept tans peuvent couvrir le carré initial de côté 4. Les données sont les suivantes : deux grands triangles d’aire 4 chacun ; un triangle moyen, un carré et un parallélogramme d’aire 2 chacun ; deux petits triangles d’aire 1 chacun.

1. Additionnez les aires des deux grands triangles : 4 + 4 = 8.
2. Ajoutez les trois pièces d’aire 2 : 8 + 2 + 2 + 2 = 14.
3. Ajoutez enfin les deux petits triangles : 14 + 1 + 1 = 16.

Notons A l’aire totale des sept pièces. Le calcul complet s’écrit :

Le contrôle est indépendant de ce premier calcul : l’aire du carré vaut côté × côté, soit 4 × 4 = 16. Les deux résultats coïncident. Si les sept pièces sont jointives, sans chevauchement, elles couvrent donc exactement ce carré.

Comme casse-tête, le tangram convient lorsque le défi consiste à reconnaître puis construire un contour avec un répertoire fixe de sept pièces. Un dessin libre est plus adapté si l’on veut ajouter des formes ou accepter des chevauchements.

En géométrie, on recompose le carré puis une silhouette pour constater que le contour varie alors que l’aire totale reste 16. Un quadrillage est préférable lorsque l’objectif principal est de mesurer directement des longueurs plutôt que de manipuler des transformations.

Dans une création visuelle, les sept tans imposent une contrainte commune à plusieurs silhouettes. Un collage libre devient l’alternative pertinente dès que la superposition, les trous ou l’ajout de pièces font partie de l’effet recherché.

Un puzzle géométrique quelconque. La présence de polygones à assembler ne suffit pas. Le tangram canonique possède exactement sept tans aux formes fixées ; un assemblage comportant d’autres pièces appartient à un autre jeu de dissection.

Le puzzle de Sarrelouis. Cette variante simplifiée couvre aussi un carré, mais elle n’emploie que cinq pièces. Une recherche portant sur un « tangram 5 pièces » décrit donc un autre découpage que le tangram canonique à sept tans.

Le loculus d’Archimède. Son principe de dissection et de recomposition est voisin, mais son carré est découpé en quatorze pièces. Compter les pièces suffit ici à trancher : sept indiquent le tangram, quatorze le loculus.

Pièce manquante ou superposée. Une silhouette reconnaissable n’est pas nécessairement une solution de tangram. Le contrôle consiste à retrouver les sept tans, chacun utilisé une fois, sans trou ni recouvrement.

Contour trompeur. Deux silhouettes complètes peuvent sembler de tailles différentes parce que l’une est plus étalée. Leur aire reste pourtant 16 dans le modèle de côté 4 ; le contour ou le périmètre ne mesure pas cette aire.

Retournement du parallélogramme. Certaines silhouettes exigent l’image miroir de cette pièce. Avec des tans matériels marqués sur une seule face, il faut annoncer si le retournement est autorisé ; sinon, toutes les silhouettes ne relèvent pas de la même convention de jeu.

Aire correcte, assemblage incorrect. La somme 16 est une condition nécessaire pour reformer le carré, mais elle ne prouve pas que les bords s’ajustent. Il faut encore vérifier visuellement l’absence de trou et de chevauchement.

La transformation géométrique donne le cadre général des déplacements de pièces et précise les propriétés qui peuvent être conservées.

La translation isole l’un des gestes élémentaires du tangram : déplacer une pièce sans la tourner ni la déformer.

Le puzzle de Sarrelouis montre comment un autre découpage reconstitue un carré avec cinq pièces au lieu de sept.

Le loculus d'Archimède prolonge la comparaison avec une dissection du carré en quatorze pièces et un problème de dénombrement.