puzzle de Sam Loyd

Imaginez cinq pièces posées sur une table : un petit carré, deux triangles rectangles, un trapèze rectangle et une pièce en forme d'hexagone creusé. Sans en retirer aucune, on peut les déplacer et les tourner pour dessiner plusieurs silhouettes très différentes.

Le puzzle de Sam Loyd repose sur cette surprise : les mêmes cinq aires se conservent d'une silhouette à l'autre. Dans cette fiche, le carré est l'exemple visible et guidé de ce réassemblage.

Le puzzle de Sam Loyd est un jeu de dissection géométrique attribué à Sam Loyd (1841-1911). Sa figure de départ est un quadrilatère dont les sommets sont nommés A, B, C et D dans cet ordre. Les côtés AB et BC ont la même longueur. Les angles formés aux sommets B et D sont droits. Enfin, le côté DC mesure trois fois le côté AD.

Une réalisation normalisée consiste à prendre AD = 1 et DC = 3. Dans un repère, on peut alors placer D au point (0 ; 0), A au point (0 ; 1), C au point (3 ; 0) et B au point (2 ; 2). On vérifie que AB et BC valent tous deux √5, tandis que les côtés qui se rencontrent en B sont perpendiculaires. Cette réalisation fixe la forme à une échelle commode ; un agrandissement uniforme donne le même puzzle.

Sur papier quadrillé, des points de découpe permettent d'obtenir exactement cinq pièces : un hexagone non convexe, un carré, un trapèze rectangle et deux triangles rectangles. Le défi consiste à réutiliser ces cinq pièces pour composer chacune des six silhouettes annoncées, sans en ajouter ni en écarter.

On construit une version normalisée du support. Les données sont AD = 1, DC = 3, un angle droit en D, AB = BC et un angle droit en B.

1. Placez D au point (0 ; 0), puis A au point (0 ; 1) et C au point (3 ; 0). Les segments AD et DC sont perpendiculaires, et DC = 3 AD.

2. Placez B au point (2 ; 2). Entre A et B, le déplacement horizontal vaut 2 et le déplacement vertical vaut 1 ; ainsi AB = √(2² + 1²) = √5. Entre B et C, ces déplacements valent 1 et −2 ; ainsi BC = √(1² + (−2)²) = √5.

3. Le produit 2 × 1 + 1 × (−2) vaut 0. Les directions de AB et BC sont donc perpendiculaires : l'angle en B est droit. Le quadrilatère satisfait toutes les conditions de départ.

4. Suivez les cinq contours colorés du gabarit associé : ils délimitent un hexagone non convexe, un carré, un trapèze rectangle et deux triangles rectangles. Les mêmes couleurs et les mêmes numéros permettent ensuite de retrouver chaque pièce dans l'assemblage en carré. Pour le contrôler, vérifiez que les cinq pièces sont présentes, sans chevauchement ni vide.

Pour préparer le support, le papier quadrillé est préférable à un tracé à main levée : il permet de contrôler les alignements, les angles droits et le rapport DC = 3 AD avant la découpe.

Pour résoudre une silhouette, commencez par son contour plutôt que par son centre. Les angles droits des pièces fournissent des repères pour le carré, le rectangle, le triangle rectangle, la croix grecque ou le T.

Après chaque essai, un contrôle simple évite les fausses solutions : les cinq pièces doivent toutes être présentes, sans chevauchement ni trou dans la figure composée.

Une énigme quelconque de Sam Loyd. Sam Loyd a créé d'innombrables énigmes et casse-têtes, mais l'appellation employée ici vise une dissection précise. Le critère décisif est la présence des cinq pièces décrites, issues du quadrilatère ABCD et réutilisées ensemble.

Une seule des silhouettes finales. Le carré, le rectangle ou la croix grecque n'est pas à lui seul le puzzle. Le puzzle est le système complet formé par les cinq pièces et par leurs différents réassemblages possibles.

Un rapport de côtés approximatif. La condition est DC = 3 AD, et non une proportion seulement proche. Si AD vaut 1, DC doit valoir exactement 3 dans le modèle géométrique ; sinon le quadrilatère n'est plus celui défini par le puzzle.

Des pièces seulement ressemblantes. Cinq morceaux quelconques capables de former un carré ne suffisent pas. Il faut retrouver un hexagone non convexe, un carré, un trapèze rectangle et deux triangles rectangles provenant de la même dissection.

Une solution incomplète. Un contour reconnaissable peut masquer un chevauchement, un vide ou une pièce oubliée. Une solution valide emploie les cinq pièces exactement une fois, sans recouvrement.

Des découpes déduites des seules longueurs. Les relations AB = BC et DC = 3 AD ne déterminent pas à elles seules le quadrilatère de départ : il faut aussi imposer les angles droits en B et D et retenir la configuration convexe représentée. Même ainsi, ces contraintes extérieures ne donnent pas la position des traits intérieurs. Il faut donc disposer du gabarit de découpe pour reproduire exactement les cinq pièces.

Une piste naturelle consiste à comparer les invariants des différents assemblages. La forme du contour change, mais le nombre de pièces et leur aire totale restent les mêmes. On peut aussi repérer quels angles et quels côtés des pièces deviennent des bords extérieurs dans chacune des six silhouettes.