quadrature d'un polygone

Imaginez un polygone simple de surface strictement positive découpé dans du papier. Le quadrer, c’est construire à la règle et au compas un carré qui couvre exactement la même surface, même si son contour est très différent.

Le geste clé consiste à partager le polygone en triangles. Chaque triangle est transformé en un carré de même aire, puis les carrés obtenus sont réunis en un seul grâce au théorème de Pythagore.

La quadrature d’un polygone est une construction géométrique qui produit, à la règle non graduée et au compas, un carré ayant exactement la même aire que le polygone donné. Elle porte donc sur l’égalité des aires, et non sur l’égalité des périmètres ou sur la ressemblance des formes.

Pour un polygone simple, on trace des diagonales qui le décomposent en triangles sans recouvrement. On construit ensuite, pour chaque triangle, un carré de même aire. Si deux carrés ont pour côtés les longueurs a et b, le théorème de Pythagore donne un nouveau carré dont le côté c est l’hypoténuse d’un triangle rectangle de côtés a et b : $c^2=a^2+b^{2}c^2=a^2+b^2$. Son aire est donc la somme des deux aires. En répétant cette combinaison, on obtient le carré recherché.

Certaines formes admettent des découpages plus élégants que cette procédure générale. Le puzzle de Dudeney, le puzzle de Perigal et le tangram illustrent ainsi des transformations par décomposition et recomposition, en lien avec le théorème de Bolyai-Gerwien.

Une quadrature réunit cinq éléments. Le polygone initial fournit l’aire à conserver. Une triangulation le partage sans trou ni recouvrement. La quadrature de chaque triangle remplace ensuite chaque pièce par un carré de même aire. Un triangle rectangle auxiliaire combine deux de ces carrés : ses deux côtés perpendiculaires reprennent leurs côtés, et son hypoténuse devient le côté d’un carré dont l’aire est leur somme. Enfin, le carré cible rassemble toutes les aires.

La triangulation détermine les carrés intermédiaires, puis leurs côtés déterminent successivement le carré final. L’orientation, la couleur et l’échelle du dessin ne définissent pas la quadrature : seules les constructions géométriques et la conservation exacte de l’aire comptent.

Considérons un quadrilatère dont les sommets, exprimés en centimètres dans un repère orthonormé, sont (0, 0), (4, 0), (4, 3) et (0, 5). La diagonale reliant (0, 0) à (4, 3) le partage en deux triangles. Le premier a une base de 4 cm et une hauteur de 3 cm ; le second, une base de 5 cm et une hauteur de 4 cm.

1. Le premier triangle a pour aire :

2. Le second triangle a pour aire :

3. Pour construire le côté du carré équivalent à un triangle de base b et de hauteur h, on construit d’abord le milieu d’un segment de longueur h, ce qui donne h/2. Sur une même droite, on reporte bout à bout un segment de longueur b et un segment de longueur h/2 ; on trace le demi-cercle ayant leur réunion pour diamètre, puis la perpendiculaire à la droite au point de jonction. Le segment compris entre ce point et le demi-cercle mesure √(b × h/2) : c’est le côté du carré de même aire. Ici, les couples 4 cm et 1,5 cm, puis 5 cm et 2 cm, donnent √6 cm et √10 cm. On construit les deux carrés sur ces côtés, puis on reporte ceux-ci comme côtés perpendiculaires d’un triangle rectangle.

4. L’hypoténuse a pour longueur :

Le carré final a donc un côté de 4 cm et une aire de 16 cm². Le contrôle est direct : 6 cm² + 10 cm² = 16 cm², exactement l’aire du carré. La figure associe la décomposition du quadrilatère au carré équivalent.

Dans une construction classique, on trace des diagonales pour obtenir des triangles. Pour quadrer un triangle de base b et de hauteur h, on construit le milieu du segment de longueur h, puis on reporte bout à bout b et h/2 sur une droite. On trace le demi-cercle ayant le segment total pour diamètre. La perpendiculaire élevée au point de jonction coupe ce demi-cercle à une distance √(b × h/2) : on construit le carré sur ce côté. On combine ensuite les carrés deux par deux, par des triangles rectangles dont l’hypoténuse fournit le côté du carré suivant, jusqu’à n’en garder qu’un. Cette méthode convient lorsque le carré doit être construit exactement, et pas seulement dimensionné par un calcul.

Dans un puzzle de dissection, on découpe une figure et on réorganise les mêmes pièces pour former une autre figure de même aire. Les puzzles de Dudeney et de Perigal sont des exemples classiques ; le tangram met lui aussi en jeu cette conservation par décomposition-recomposition.

Si l’on cherche seulement une valeur numérique, il est plus direct de calculer l’aire du polygone puis la racine carrée de cette aire. La quadrature devient pertinente dès que la règle et le compas, ainsi que l’exactitude de la construction, font partie du problème.

Calculer l’aire d’un polygone. Un calcul fournit un nombre assorti d’une unité d’aire ; une quadrature fournit une construction géométrique. Obtenir 16 cm² ne suffit donc pas à quadrer la figure : il faut encore construire le carré de côté 4 cm.

Quadrature du cercle. Le point de départ distingue immédiatement les deux problèmes. La quadrature d’un polygone transforme une figure à côtés droits ; la quadrature du cercle part d’un disque et demande, elle aussi, un carré de même aire.

Figures superposables. Deux figures superposables ont la même forme et les mêmes dimensions. Dans une quadrature, le polygone et le carré ont seulement la même aire : leurs contours et leurs périmètres peuvent différer.

Polygone croisé. La procédure générale suppose un polygone simple, dont l’intérieur est défini sans ambiguïté. Si des côtés se croisent, le symptôme est une aire dépendant de la convention choisie ; il faut d’abord préciser les régions comptées et leur éventuel signe.

Aire nulle. Un polygone aplati peut avoir une aire égale à 0. Le « carré » correspondant aurait alors un côté de longueur 0 : ce n’est pas un carré non dégénéré. Il faut signaler ce cas au lieu de présenter une construction ordinaire.

Mesure approchée. Une valeur décimale mesurée puis arrondie ne donne qu’un carré approché. Pour une quadrature classique exacte, les longueurs doivent être transférées et construites à la règle et au compas, sans remplacer silencieusement une longueur comme √6 par un arrondi.

Découpage mal contrôlé. Des triangles qui se chevauchent ou laissent un trou faussent la somme des aires. Il faut vérifier que les pièces couvrent une seule fois tout l’intérieur du polygone avant de combiner leurs carrés équivalents.

Le théorème de Bolyai-Gerwien met en perspective les transformations de polygones par découpage et recomposition.

Le théorème de Pythagore explique pourquoi l’hypoténuse combine exactement les aires de deux carrés.

Le tangram donne un terrain concret pour observer la conservation de l’aire quand les mêmes pièces sont réassemblées.