puzzle de Gougu

Imaginez deux carrés découpés en cinq pièces. Les carrés sont posés sur les deux côtés qui forment l’angle droit d’un triangle rectangle. En déplaçant seulement trois pièces, on peut remplir exactement le carré posé sur le troisième côté, l’hypoténuse.

Cette transformation rend visible une égalité d’aires : l’aire des deux premiers carrés réunis est celle du troisième. Le puzzle de Gougu, aussi appelé puzzle de Liu Hui, donne ainsi une lecture géométrique du théorème de Pythagore.

Le puzzle de Gougu est une construction par dissection associée à la tradition mathématique chinoise classique. Il est exposé dans le chapitre 9 des Neuf Chapitres sur l’art mathématique de Liu Hui. Son nom renvoie à « base-hauteur ». Les expressions puzzle de Gougu et puzzle de Liu Hui désignent la même construction.

La construction s’applique à un triangle rectangle. Appelons a et b les longueurs des deux côtés qui forment l’angle droit, et c la longueur de l’hypoténuse. Deux carrés sont construits sur les côtés de longueurs a et b. Leur dissection fournit cinq pièces. Le déplacement de trois de ces pièces reforme un carré construit sur le côté de longueur c. Comme les mêmes pièces couvrent les figures sans trou ni chevauchement, leurs aires sont égales : $a^2+b^2=c^{2}a^2+b^2=c^2$.

Cette égalité est le théorème de Pythagore sous une forme géométrique. Le texte de la preuve est conservé, contrairement à la figure d’origine. Une illustration moderne peut donc expliquer le principe des aires, mais elle ne doit pas être présentée comme la disposition historique perdue.

Prenons un triangle rectangle dont les deux côtés de l’angle droit mesurent 3 unités et 4 unités. La longueur de l’hypoténuse est inconnue. Les données sont donc a = 3 et b = 4.

1. Le carré construit sur le côté de 3 unités a pour aire 3 × 3 = 9 unités carrées.

2. Le carré construit sur le côté de 4 unités a pour aire 4 × 4 = 16 unités carrées.

3. Les deux aires totalisent 9 + 16 = 25 unités carrées. Dans le principe du puzzle, cette aire remplit exactement le carré construit sur l’hypoténuse. Le schéma d’aires moderne proposé ici illustre cette égalité sans reconstituer la figure historique perdue.

4. Le côté du carré d’aire 25 mesure 5 unités, car 5 × 5 = 25. L’hypoténuse mesure donc 5 unités. Le contrôle est refaisable dans l’autre sens : $3^2+4^2=9+16=25=5^{2}3^2+4^2=9+16=25=5^2$.

Pour expliquer le théorème de Pythagore, on peut découper des formes plutôt que commencer par une formule. Le critère à observer est la conservation de l’aire : les pièces doivent couvrir la nouvelle figure sans trou ni chevauchement.

Pour calculer une longueur, la formule est plus directe que la manipulation. On identifie d’abord l’hypoténuse, opposée à l’angle droit, puis on remplace les longueurs connues dans l’égalité des carrés.

Pour étudier la preuve historique, on sépare ce qui est conservé de ce qui est reconstitué. Le texte attribué à la construction demeure la source ; toute disposition moderne des pièces sert seulement à rendre le raisonnement visible.

Le théorème de Pythagore est l’égalité qui relie les longueurs des côtés d’un triangle rectangle. Le puzzle de Gougu est une construction qui en donne une preuve géométrique par déplacement de pièces. Si l’on calcule 3² + 4² = 5², on applique le théorème ; si l’on justifie cette égalité en conservant les aires lors d’une dissection, on utilise le principe du puzzle.

Il faut aussi distinguer la preuve conservée d’une figure moderne. La première est connue par son texte ; la figure d’origine est perdue. Un dessin actuel peut être mathématiquement exact sans reproduire l’agencement historique.

Le raisonnement concerne un triangle rectangle. Si aucun angle n’est droit, le côté le plus long ne suffit pas à rendre vraie l’égalité $a^2+b^2=c^{2}a^2+b^2=c^2$ ; il faut alors employer une relation adaptée au triangle considéré.

Une égalité numérique d’aires ne montre pas à elle seule une dissection. Il faut vérifier que les cinq pièces sont conservées et que leur nouvel assemblage couvre le carré final exactement, sans lacune, chevauchement ni changement d’échelle.

La figure originale ayant disparu, aucune reconstitution ne peut être déclarée identique à celle de Liu Hui sur la seule foi de son apparence. Le bon réflexe consiste à distinguer le principe démontré, conservé par le texte, de la disposition graphique proposée pour l’illustrer.

La fiche théorème de Pythagore permet de replacer la dissection dans l’énoncé général qui relie les trois côtés d’un triangle rectangle.

La fiche Liu Hui situe l’auteur auquel cette lecture géométrique est associée dans la tradition mathématique chinoise classique.

L’article Les neuf chapitres, un ouvrage fondateur présente l’œuvre qui conserve le texte de la preuve dans son chapitre 9.