Chou Pei Suan Ching

Composé au cours de la dynastie Zhou, puis enrichi sous la dynastie Han, le Zhoubi Suanjing met les mathématiques en scène comme une conversation. Le Duc de Zhou interroge Shang Gao, son astronome royal. Leurs échanges relient des problèmes d'astronomie pratique à des raisonnements géométriques.

Son résultat gougu porte sur les trois côtés d'un triangle rectangle. Avec des côtés de longueurs 3, 4 et 5, les carrés construits sur les deux côtés de l'angle droit ont ensemble la même aire que le carré construit sur le troisième côté. C'est la relation connue en français comme le théorème de Pythagore.

Le Zhoubi Suanjing, aussi translittéré Chou Pei Suan Jing, est l'un des plus anciens textes mathématiques de la civilisation chinoise. Il associe astronomie pratique et géométrie dans un dialogue entre le Duc de Zhou et son astronome royal Shang Gao. Certains problèmes y sont accompagnés de leurs solutions.

L'ouvrage expose notamment le résultat gougu, l'une des premières formulations connues et justifications du théorème de Pythagore dans la tradition mathématique chinoise. Pour un triangle rectangle, appelons a et b les longueurs des côtés qui forment l'angle droit, et c la longueur du côté opposé. La relation s'écrit $a^2+b^2=c^{2}a^2+b^2=c^2$. Elle ne concerne donc pas un triangle quelconque, mais un triangle possédant un angle droit.

Le texte a été composé au cours de la dynastie Zhou, de 1046 à 256 av. J.-C., puis enrichi sous la dynastie Han, de 206 av. J.-C. à 220 ap. J.-C. Il appartient aux Dix Canons du calcul, corpus compilé au début de la dynastie Tang par Li Chunfeng (602–670). Sa transmission savante passe aussi par des commentaires de Liu Hui au IIIe siècle, de Zu Gengzhi au début du VIe siècle et de Li Chunfeng.

Considérons un triangle rectangle. Les deux côtés qui forment l'angle droit mesurent 3 unités et 4 unités. La longueur du côté opposé à l'angle droit est inconnue ; appelons-la c.

1. Élevons les deux longueurs connues au carré : 3² = 9 et 4² = 16.

2. Additionnons ces deux résultats. Le calcul gougu donne $3^2+4^2=9+16=253^2+4^2=9+16=25$. Le triangle de contrôle rend visibles les côtés 3 et 4 autour de l'angle droit et le côté 5 qui leur fait face.

3. Cherchons la longueur positive dont le carré vaut 25. Nous obtenons c = 5 unités.

Le contrôle est refaisable dans l'autre sens : 5² = 25, exactement comme 3² + 4² = 25. Les trois mesures vérifient donc bien la relation appliquée à un triangle rectangle.

Pour situer le texte, repérez d'abord ses deux périodes de composition : la dynastie Zhou pour sa formation, puis la dynastie Han pour ses enrichissements. Les dates des commentateurs appartiennent à l'histoire de sa transmission, pas à une rédaction faite d'un seul tenant.

Pour reconnaître son contenu mathématique, cherchez la présence conjointe d'un problème d'astronomie pratique, d'une construction géométrique et d'une solution. Si seul le calcul des côtés d'un triangle rectangle est étudié, l'entrée sur le théorème de Pythagore est plus directe.

Pour suivre l'exemple gougu, identifiez d'abord les deux côtés qui forment l'angle droit. Le carré du côté opposé s'obtient en additionnant les carrés de leurs longueurs. Sans angle droit établi, cette règle n'est pas le bon outil.

Le Zhoubi Suanjing et le théorème de Pythagore. Le premier est un ouvrage qui réunit des problèmes d'astronomie pratique et de géométrie ; le second est un résultat mathématique. Un passage consacré au gougu relève du théorème, mais il ne résume pas tout l'ouvrage.

Un canon et les Dix Canons du calcul. Le Zhoubi Suanjing est l'un des textes de cette collection. La mention des Dix Canons désigne le corpus compilé au début de la dynastie Tang, non un autre titre du seul Zhoubi Suanjing.

Zhoubi Suanjing et Chou Pei Suan Jing. Ces graphies sont deux translittérations du même titre. Une différence d'orthographe entre une recherche et une référence ne signale donc pas deux ouvrages distincts.

Une chronologie en plusieurs couches. La composition sous les Zhou et l'enrichissement sous les Han couvrent des périodes différentes. Présenter l'ouvrage comme un texte rédigé en une année unique efface cette stratification ; il faut conserver les deux repères.

Un dialogue n'est pas une liste d'auteurs. Le Duc de Zhou et Shang Gao sont les interlocuteurs de la forme dialoguée. Les commentateurs nommés appartiennent à la transmission du texte ; leurs interventions ne doivent pas être fondues dans le dialogue.

« L'une des premières » ne signifie pas « la première ». La source situe le gougu parmi les premières formulations connues dans la tradition chinoise. Transformer cette formule prudente en priorité absolue ajouterait une affirmation que la source n'établit pas.

Le gougu exige un angle droit. Avec des côtés de longueurs 3, 4 et 6, on obtient 3² + 4² = 25, tandis que 6² = 36. L'égalité échoue : ces trois longueurs ne forment pas le triangle rectangle de l'exemple.

Le théorème de Pythagore donne la formulation géométrique générale de la relation présentée ici sous le nom de gougu.

La fiche consacrée à Liu Hui prolonge l'étude de l'un des mathématiciens associés aux commentaires du texte.

L'article Pythagore bien plus qu'un théorème élargit la perspective historique autour du résultat auquel répond le gougu.