GéométrieNotion · Glossaire
Hypoténuse
L'hypoténuse est le côté d'un triangle rectangle opposé à l'angle droit. C'est le côté le plus long du triangle rectangle. Le théorème de Pythagore affirme que le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés (appelés cathètes). Si c est l'hypoténuse et a, b les cathètes, on a c² = a² + b². L'hypoténuse est aussi le diamètre du cercle circonscrit au triangle rectangle.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Repérer l’hypoténuse à partir de l’angle droit, quelle que soit l’orientation du triangle.
- Calculer une hypoténuse avec le théorème de Pythagore sur un exemple de 6 cm, 8 cm et 10 cm.
- Contrôler le résultat par sa longueur et par l’égalité des carrés.
- Distinguer l’hypoténuse des cathètes et du côté opposé à un angle aigu.
- Relier l’hypoténuse au diamètre du cercle circonscrit.
En clair
Tracez un triangle avec un côté vertical de 6 cm et un côté horizontal de 8 cm, qui se rencontrent à angle droit. Le troisième côté relie leurs extrémités libres : c’est l’hypoténuse. Elle fait face à l’angle droit et mesure ici 10 cm.
Pour la repérer, cherchez donc d’abord l’angle droit, souvent signalé par un petit carré. L’unique côté qui ne touche pas cet angle est l’hypoténuse. Dans un triangle rectangle, c’est toujours le côté le plus long.
Définition
L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit d’un triangle rectangle. Les deux côtés qui forment l’angle droit sont appelés cathètes. L’hypoténuse est le plus long des trois côtés. Cette appellation ne dépend ni de l’orientation du dessin ni de la position du triangle sur la page.
Notons a et b les longueurs des cathètes, et c la longueur de l’hypoténuse. Le théorème de Pythagore donne la relation . Pour calculer la longueur positive de l’hypoténuse à partir des deux autres côtés, on prend donc . La relation s’applique parce que le triangle est rectangle.
Le cercle circonscrit passe par les trois sommets du triangle. Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse en est un diamètre : son milieu est donc le centre de ce cercle. Cette propriété relie le côté opposé à l’angle droit à une construction circulaire précise.
Un exemple, pas à pas
Données. Un triangle rectangle possède deux cathètes de longueurs 6 cm et 8 cm. On note c la longueur, en centimètres, du côté opposé à l’angle droit. La figure matérialise ces trois données.
1. Le côté recherché est opposé à l’angle droit : c désigne bien la longueur de l’hypoténuse.
2. Le théorème de Pythagore donne .
3. Les carrés valent 36 et 64, donc c2 = 36 + 64 = 100.
4. Une longueur étant positive, c = √100 = 10 cm. L’hypoténuse mesure donc 10 cm.
Contrôle. Le résultat 10 cm dépasse bien 8 cm et 6 cm, comme doit le faire l’hypoténuse. En sens inverse, 102 = 100 et 62 + 82 = 36 + 64 = 100. Cette même longueur de 10 cm est le diamètre du cercle circonscrit.
En pratique
Sur une figure, commencez par localiser le symbole de l’angle droit. Le côté placé en face est l’hypoténuse, même s’il paraît vertical ou si le triangle a été tourné. Sans angle droit établi, ce nom ne s’applique pas.
Lorsque les deux cathètes sont connues, le théorème de Pythagore fournit l’hypoténuse sans mesure directe. Dans le triangle de 6 cm et 8 cm, le calcul donne 10 cm. Si les trois longueurs sont accessibles avec précision, une mesure directe peut plutôt servir de contrôle.
Pour construire le cercle circonscrit à un triangle rectangle, prenez le milieu de l’hypoténuse comme centre. Dans l’exemple, le diamètre vaut 10 cm ; le rayon est donc de 5 cm.
À ne pas confondre
Avec un cathète. Un cathète touche l’angle droit et contribue à le former ; l’hypoténuse lui fait face. Dans le triangle de côtés 6 cm, 8 cm et 10 cm, les côtés de 6 cm et 8 cm sont les cathètes, tandis que celui de 10 cm est l’hypoténuse.
Avec le côté opposé à un angle aigu. Le mot « opposé » ne suffit pas : l’hypoténuse est précisément opposée à l’angle droit. Face à l’un des deux angles aigus, le côté opposé est au contraire un cathète. Le petit carré marquant 90° tranche la question.
Limites et pièges
Triangle non rectangle. Si aucun angle ne mesure 90°, aucun côté ne porte le nom d’hypoténuse. Le symptôme est l’absence d’angle droit établi. Il faut alors parler du côté opposé à l’angle considéré, sans appliquer directement c2 = a2 + b2.
Repérage à l’œil. Le côté qui semble le plus long sur un croquis n’est pas une preuve suffisante. Repérez d’abord l’angle droit, puis choisissez le côté opposé. Dans l’exemple, ce critère conduit au côté de 10 cm et non à celui de 8 cm.
Résultat incompatible. Une hypoténuse calculée à 7 cm avec des cathètes de 6 cm et 8 cm signale une erreur : elle serait plus courte que le cathète de 8 cm. Il faut reprendre les carrés et la racine carrée ; le calcul exact donne 10 cm.
Diamètre sous condition. L’affirmation « l’hypoténuse est un diamètre du cercle circonscrit » concerne le triangle rectangle. Pour l’utiliser, vérifiez que le cercle passe par les trois sommets et que le côté choisi est bien opposé à l’angle de 90°.
Pour aller plus loin
théorème de Pythagore — Approfondit la relation qui permet de calculer l’hypoténuse à partir des deux cathètes.
Les démonstrations du théorème de Pythagore à travers les âges — Présente plusieurs chemins historiques pour établir la relation entre les trois côtés.
Les triplets pythagoriciens — Prolonge l’exemple 6-8-10 par l’étude des triangles rectangles dont les côtés sont entiers.
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