Cathète

Imaginez une équerre : ses deux bords courts se rencontrent en formant un angle droit. Dans le triangle rectangle dessiné par l'équerre, chacun de ces deux bords est une cathète. Le troisième côté, placé en face de l'angle droit, est l'hypoténuse.

Les deux cathètes jouent le même rôle géométrique. Selon l'angle aigu choisi, l'une est appelée côté adjacent et l'autre côté opposé.

Une cathète est l'un des deux côtés d'un triangle rectangle qui ont pour extrémité commune le sommet de l'angle droit. Les deux cathètes sont donc adjacentes à l'angle droit. Le troisième côté, opposé à cet angle, est l'hypoténuse ; il est aussi le côté le plus long du triangle. Le mot cathète ne désigne pas un côté quelconque d'un triangle non rectangle.

Si les lettres a et b désignent les longueurs des cathètes et si la lettre c désigne celle de l'hypoténuse, le théorème de Pythagore donne : $a^2+b^2=c^{2}a^2+b^2=c^2$. Cette relation permet de calculer une longueur lorsque les deux autres sont connues.

Par rapport à un angle aigu fixé, une cathète est adjacente à cet angle et l'autre lui est opposée. Le cosinus de l'angle est le rapport de la cathète adjacente à l'hypoténuse ; son sinus est le rapport de la cathète opposée à l'hypoténuse. Si l'on choisit l'autre angle aigu, les rôles des deux cathètes s'échangent.

Un triangle rectangle possède une cathète de 3 cm et une autre de 4 cm. On cherche la longueur de son hypoténuse. La figure représente exactement ces trois côtés et permet de contrôler leur position autour de l'angle droit.

Données
Première cathète : 3 cm.
Deuxième cathète : 4 cm.
Longueur cherchée : l'hypoténuse, notée c.

1. Le triangle est rectangle, donc le théorème de Pythagore s'applique : $3^2+4^2=c^{2}3^2+4^2=c^2$.

2. Les carrés des longueurs valent 9 cm² et 16 cm², d'où $c^2=9+16=25c^2=9+16=25$.

3. Une longueur étant positive, on retient la racine positive : $c=\sqrt{25}=5c=\backslash sqrt\{25\}=5$. L'hypoténuse mesure donc 5 cm.

Le contrôle se refait dans l'autre sens : 3² + 4² = 9 + 16 = 25, et 5² = 25. Les deux résultats coïncident exactement.

Repérer les côtés. Sur un dessin, le petit carré signale l'angle droit. Les deux côtés qui touchent ce carré sont les cathètes ; le côté situé en face est l'hypoténuse. Sans angle droit identifié, ce vocabulaire ne s'applique pas.

Calculer une longueur. Si deux côtés d'un triangle rectangle sont connus, le théorème de Pythagore est adapté. Pour trouver une cathète, on soustrait le carré de l'autre cathète au carré de l'hypoténuse, puis on prend la racine positive.

Relier côtés et angles. Si une longueur et un angle aigu sont connus, le sinus ou le cosinus peut être préférable. Il faut d'abord choisir l'angle de référence : ce choix détermine quelle cathète est opposée et laquelle est adjacente.

Cathète et hypoténuse. Une cathète touche l'angle droit, tandis que l'hypoténuse lui fait face. Dans le triangle 3–4–5, les côtés de 3 cm et 4 cm sont les cathètes ; celui de 5 cm est l'hypoténuse.

Cathète et côté adjacent. « Cathète » décrit le rôle d'un côté par rapport à l'angle droit. « Côté adjacent » dépend de l'angle aigu choisi. Dans le triangle 3–4–5, chacune des deux cathètes devient adjacente à l'un des angles aigus et opposée à l'autre.

Angle presque droit. Une mesure proche de 90° ne suffit pas à établir qu'un triangle est rectangle. Si l'angle n'est pas exactement droit dans le modèle géométrique, ses côtés ne sont pas des cathètes et l'égalité de Pythagore ne s'applique pas comme une identité. Pour une figure mesurée, il faut tenir compte de la précision de l'instrument.

Longueur nulle. Dans un triangle rectangle non dégénéré, chaque cathète a une longueur strictement positive. Si l'une vaut 0, les trois sommets ne forment plus un triangle : la figure est aplatie et le vocabulaire usuel des côtés du triangle perd son domaine d'application.

Adjacent ou opposé. Ces qualificatifs ne sont pas attachés définitivement aux cathètes. Leur emploi sans préciser l'angle aigu de référence produit une ambiguïté ; il faut nommer ou marquer cet angle avant d'écrire un rapport trigonométrique.

Hypoténuse — Situer le troisième côté du triangle rectangle et comprendre pourquoi il est opposé à l'angle droit.

théorème de Pythagore — Approfondir la relation exacte entre les longueurs des deux cathètes et celle de l'hypoténuse.

Les démonstrations du théorème de Pythagore à travers les âges — Comparer plusieurs chemins de preuve pour la relation qui unit les trois côtés du triangle rectangle.