GéométrieObjet géométrique · Glossaire
tangente d'un angle
La tangente d'un angle est une fonction trigonométrique fondamentale. Dans un triangle rectangle, si l'on considère un angle aigu A, la tangente de A est définie comme le rapport du côté opposé à A au côté adjacent à A : tan A = côté opposé / côté adjacent. Cette définition se généralise à tout angle a par la relation tan(a) = sin(a) / cos(a), valable dès que cos(a) ≠ 0 (la tangente n'est pas définie pour les angles dont le cosinus est nul, c'est-à-dire les multiples impairs de π/2). Sur le cercle trigonométrique unitaire, pour cos(a) ≠ 0, la droite orientée passant par l'origine et portée par l'angle a coupe la tangente au cercle au point (1, 0) ; l'ordonnée orientée du point d'intersection vaut tan(a). Dans les applications pratiques, la tangente est utilisée pour exprimer la pente d'un terrain, d'une route ou d'un toit : une pente de 5 % signifie une dénivellation de 5 mètres pour 100 mètres de distance horizontale. La notation tan est aujourd'hui universelle, se substituant à l'ancienne abréviation tg encore en usage il y a quelques décennies. La notion s'étend à la fonction tangente définie sur l'ensemble des réels privés des multiples impairs de π/2.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les côtés opposé et adjacent dans un triangle rectangle.
- Relier tan(a) au quotient sin(a)/cos(a) et connaître la condition cos(a) non nul.
- Calculer une pente de 5 % et retrouver son angle d’environ 2,86°.
- Distinguer un pourcentage de pente d’un angle en degrés.
- Reconnaître les angles pour lesquels la tangente n’est pas définie.
En clair
Une route monte de 5 mètres pendant que l’on avance de 100 mètres horizontalement. Sa pente vaut 5 %, et la tangente relie précisément cette montée à l’angle de la route.
Dans le triangle rectangle dessiné par le sol, la montée et la route, on compare la hauteur gagnée à la distance horizontale. Plus ce rapport est grand, plus l’angle de montée est ouvert.
Définition
Dans un triangle rectangle, on choisit un angle aigu nommé A. Le côté situé en face de A est le côté opposé ; le côté qui touche A sans être l’hypoténuse est le côté adjacent. La tangente de A est leur rapport : .
Pour un angle quelconque nommé a, la définition se prolonge à l’aide de son sinus et de son cosinus : . Cette écriture exige que le cosinus de a ne soit pas nul. La tangente n’est donc pas définie lorsque a est un multiple impair de π/2. Elle définit une fonction sur tous les autres nombres réels.
Sur le cercle trigonométrique unitaire, on trace la tangente au cercle au point (1, 0). La droite orientée passant par l’origine et portée par l’angle a rencontre cette tangente lorsque cos(a) ≠ 0 ; l’ordonnée orientée du point d’intersection vaut tan(a). La notation universelle est « tan » ; l’ancienne abréviation « tg » peut encore apparaître dans des textes plus anciens.
De quoi c'est fait
La construction dans un triangle rectangle mobilise quatre éléments. L’angle aigu A fixe le point de vue. Le côté opposé se trouve face à lui ; le côté adjacent le touche. L’angle droit garantit que ces deux côtés donnent respectivement une hauteur et une distance horizontale dans l’exemple d’une pente.
Le rapport dépend donc du choix de l’angle : échanger l’angle aigu observé échange aussi les rôles des côtés opposé et adjacent. L’hypoténuse ferme le triangle, mais elle n’entre pas dans le calcul de la tangente. L’orientation, la taille du dessin et son échelle ne changent pas ce rapport. Ces données suffisent à calculer la tangente lorsqu’on connaît les deux longueurs concernées, ou l’une d’elles à partir de l’autre et de l’angle.
Un exemple, pas à pas
Une route gagne 5 m d’altitude sur une distance horizontale de 100 m. On cherche sa pente et l’angle a qu’elle forme avec l’horizontale. La figure matérialise les deux longueurs qui déterminent ce rapport.
Données :
côté opposé à l’angle a : 5 m ;
côté adjacent à l’angle a : 100 m.
côté opposé à l’angle a : 5 m ;
côté adjacent à l’angle a : 100 m.
1. On forme le rapport entre la dénivellation et la distance horizontale : .
2. On convertit ce rapport en pourcentage : 0,05 × 100 = 5 %.
3. La fonction réciproque de la tangente donne l’angle : .
La route a donc une pente de 5 % et un angle d’environ 2,86°. Pour contrôler le calcul, 5 % de 100 m redonne bien une dénivellation de 5 m.
En pratique
Pour une route ou un terrain, on relève la dénivellation et la distance horizontale, puis on calcule leur rapport. On préfère le pourcentage de pente lorsqu’il faut comparer directement des montées ; l’angle convient lorsqu’une mesure en degrés est demandée.
Pour un toit, on mesure de la même façon la hausse verticale correspondant à une avancée horizontale. La tangente transforme l’angle d’inclinaison en rapport de longueurs, ou permet de retrouver l’angle si les deux longueurs sont connues.
Dans un triangle rectangle, la tangente est utile lorsque les données concernent les côtés opposé et adjacent. Si l’hypoténuse intervient à la place de l’un d’eux, le sinus ou le cosinus fournit un rapport plus direct.
À ne pas confondre
La tangente d’un angle et la tangente à un cercle. La première est un nombre calculé à partir d’un angle ; la seconde est une droite qui touche le cercle. Sur le cercle trigonométrique, la droite sert précisément à représenter le nombre, mais les deux objets restent distincts.
Une pente en pourcentage et un angle en degrés. Une pente de 5 % signifie 5 m de dénivellation pour 100 m horizontalement ; elle ne signifie pas 5°. Le cas conducteur donne environ 2,86°, ce qui permet de trancher immédiatement.
Le côté adjacent et l’hypoténuse. Tous deux touchent l’angle aigu, mais le côté adjacent utilisé par la tangente est celui qui borde aussi l’angle droit. Dans le rapport de tangente, l’hypoténuse n’apparaît pas.
Limites et pièges
Cosinus nul. Lorsque l’angle est un multiple impair de π/2, le quotient sinus sur cosinus demanderait une division par zéro. La tangente n’est pas définie : il ne faut ni lui attribuer une valeur ni poursuivre le calcul.
Distance horizontale nulle. Le calcul d’une pente demanderait lui aussi une division par zéro. Une montée verticale ne possède donc pas de pourcentage de pente fini ; on la décrit comme verticale plutôt que d’annoncer un nombre.
Mauvais côté de référence. La longueur parcourue sur la route est l’hypoténuse, pas la distance horizontale. L’utiliser au dénominateur ne calcule pas la tangente. Il faut projeter ou mesurer la distance horizontale avant de former le rapport.
Réglage de la calculatrice. Le rapport 0,05 est sans unité, mais son angle inverse dépend du mode choisi. Pour obtenir 2,86°, la calculatrice doit être réglée en degrés ; en radians, elle affiche environ 0,05.
Pour aller plus loin
cercle trigonométrique — Pour situer les angles et voir comment les fonctions trigonométriques se lisent sur un cercle unitaire.
cosinus d'un angle — Pour étudier le rapport complémentaire qui relie le côté adjacent à l’hypoténuse dans un triangle rectangle.
Nombres complexes et trigonométrie — Pour prolonger la trigonométrie vers une représentation plus large des angles et des calculs.
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