cosinus d'un angle

Imaginez un point qui tourne sur un cercle de rayon 1. Sa hauteur change, mais sa position horizontale aussi : cette abscisse est le cosinus de l’angle parcouru depuis la droite. À 0°, le point est tout à droite et le cosinus vaut 1. À 90°, il se trouve au-dessus du centre et le cosinus vaut 0.

Dans un triangle rectangle, la même valeur compare la longueur du côté adjacent à l’angle avec celle de l’hypoténuse. Le cosinus relie ainsi une ouverture à une proportion comprise entre −1 et 1.

Le cosinus associe un nombre réel à tout angle orienté. Sur le cercle trigonométrique, centré à l’origine et de rayon 1, un angle noté θ détermine un point M. Le cosinus de θ est l’abscisse de M ; son ordonnée est le sinus de θ. Cette définition vaut pour tout angle réel, exprimé en radians ou dans une autre unité clairement indiquée.

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu θ, le côté adjacent est celui qui touche l’angle sans être l’hypoténuse. La relation est $\cos (\theta )=\frac{\text{longueur du c}\hat{\text{o}}\text{t}\acute{\text{e}}\text{ adjacent}}{\text{longueur de l’hypot}\acute{\text{e}}\text{nuse}}\backslash cos(\backslash theta)=\backslash frac\{\backslash text\{longueur\; du\; côté\; adjacent\}\}\{\backslash text\{longueur\; de\; l’hypoténuse\}\}$. Cette écriture ne s’applique directement qu’à un triangle rectangle.

Pour deux vecteurs non nuls u et v d’un plan euclidien, le produit scalaire donne $\cos (\theta )=\frac{u\cdot v}{\parallel u\parallel \parallel v\parallel }\backslash cos(\backslash theta)=\backslash frac\{u\backslash cdot\; v\}\{\backslash lVert\; u\backslash rVert\backslash ,\backslash lVert\; v\backslash rVert\}$, où θ est l’angle géométrique compris entre 0 et π. Si les deux vecteurs sont unitaires, leur produit scalaire est directement le cosinus.

La construction sur le cercle unité mobilise cinq éléments. Le centre O fixe l’origine du repère. L’axe horizontal donne les abscisses, et l’axe vertical donne les ordonnées. Le rayon, de longueur 1, transforme directement les coordonnées en proportions. L’angle θ part de l’axe horizontal positif et repère le rayon OM. Enfin, le point M est l’intersection de ce rayon avec le cercle.

La direction de OM détermine donc M, puis la projection verticale de M sur l’axe horizontal détermine cos(θ). Changer l’échelle du dessin ou sa couleur ne change pas la valeur, à condition de conserver un repère orthonormé et le même angle orienté. Ces données suffisent à construire le point et à lire simultanément son cosinus et son sinus.

Un triangle ABC est rectangle en C. Les données sont les suivantes : l’hypoténuse AB mesure 5 cm, le côté AC mesure 4 cm et le côté BC mesure 3 cm. On cherche le cosinus de l’angle en A, noté Â.

1. Le côté adjacent à Â est AC, car il touche l’angle et n’est pas l’hypoténuse.
2. On forme le rapport entre le côté adjacent et l’hypoténuse : $\cos (\widehat{A})=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}=\mathrm{0,8}\backslash cos(\backslash widehat\; A)=\backslash frac\{AC\}\{AB\}=\backslash frac\{4\}\{5\}=0\{,\}8$.
3. Sur le cercle unité, la même valeur place le point associé à Â aux coordonnées (0,8 ; 0,6).

Le résultat exact est donc cos(Â) = 0,8, sans unité. Un contrôle consiste à vérifier le triplet 3‑4‑5 : 3² + 4² = 5². Le triangle est bien rectangle et le rapport 4/5 reste inférieur à 1. La figure matérialise la même proportion comme abscisse sur le cercle unité.

En géométrie, si un triangle est rectangle et si l’on connaît l’hypoténuse ainsi que le côté adjacent, leur rapport donne le cosinus de l’angle. Si le triangle n’est pas rectangle, cette relation directe ne convient pas ; on utilise plutôt le produit scalaire ou une loi adaptée aux trois côtés.

Avec des vecteurs, le cosinus indique leur orientation relative. Une valeur proche de 1 signale des directions proches, 0 signale la perpendicularité et une valeur proche de −1 signale des directions opposées. Le produit scalaire est préférable lorsque les coordonnées des vecteurs sont connues.

Pour décrire un mouvement périodique, la fonction cosinus suit une coordonnée qui oscille entre −1 et 1. Le cercle unité convient quand on veut voir l’angle ; la courbe du cosinus convient mieux pour suivre l’évolution de la valeur au fil du temps.

Cosinus et sinus. Sur le cercle unité, le cosinus est l’abscisse et le sinus est l’ordonnée. Au point (0,8 ; 0,6), le cosinus vaut 0,8 tandis que le sinus vaut 0,6.

Cosinus et tangente. Dans un triangle rectangle, le cosinus compare le côté adjacent à l’hypoténuse. La tangente compare le côté opposé au côté adjacent. Pour le triangle 3‑4‑5, ces valeurs sont respectivement 4/5 et 3/4.

Cosinus d’un angle et loi des cosinus. Le premier est une fonction trigonométrique. La seconde est une relation entre les trois côtés et un angle d’un triangle quelconque ; la présence d’un triangle non rectangle indique qu’un simple rapport adjacent sur hypoténuse ne suffit pas.

Angle droit. À 90°, soit π/2 radians, le cosinus vaut exactement 0. Le côté adjacent d’un triangle rectangle ne disparaît pas pour autant : c’est l’interprétation par un angle aigu intérieur qui atteint ici sa frontière. Le cercle unité reste le cadre sûr.

Unités d’angle. Une calculatrice réglée en degrés et une calculatrice réglée en radians ne donnent pas la même valeur pour une même saisie numérique. Avant tout calcul, il faut contrôler le mode : 60° donne 0,5, tandis que 60 radians ne représente pas le même angle.

Vecteur nul. La formule par produit scalaire exige deux vecteurs non nuls, car leurs normes apparaissent au dénominateur. Si l’un est nul, aucune direction ni aucun angle entre les vecteurs n’est défini ; il ne faut donc pas attribuer de cosinus à cette situation.

Projection sur un vecteur non unitaire. Le coefficient de projection de v sur u est $\frac{u\cdot v}{\parallel u{\parallel }^2}\backslash frac\{u\backslash cdot\; v\}\{\backslash lVert\; u\backslash rVert^2\}$, pas nécessairement le cosinus de leur angle. Il devient directement un cosinus quand u et v sont tous deux unitaires ; sinon, il faut aussi tenir compte de leurs longueurs.

Le cercle trigonométrique prolonge la lecture du cosinus à tous les angles et montre simultanément le rôle du sinus.

Le produit scalaire relie l’angle aux coordonnées et aux longueurs de deux vecteurs non nuls.

La formule d’Euler explique pourquoi le cosinus apparaît comme la partie réelle de l’exponentielle complexe.