théorème de Gua

Imaginez le coin d’une boîte : trois arêtes partent du même point et forment trois angles droits. En reliant leurs extrémités, on obtient un tétraèdre à quatre faces triangulaires. Les trois faces qui touchent le coin sont des triangles rectangles ; la quatrième est inclinée.

Le théorème de Gua relie leurs aires comme Pythagore relie les longueurs des côtés d’un triangle rectangle. La face inclinée joue le rôle de l’hypoténuse : son aire au carré est la somme des aires au carré des trois faces rectangles.

Le théorème de Gua porte sur un tétraèdre trirectangle OABC. Cela signifie que les trois arêtes OA, OB et OC issues du sommet O sont perpendiculaires deux à deux. Les faces OAB, OBC et OAC sont donc des triangles rectangles en O. La quatrième face, ABC, est opposée à O.

En notant A_ABC, A_OAB, A_OBC et A_OAC les aires des quatre faces, la relation est :La face ABC tient ainsi le rôle de l’hypoténuse, tandis que les carrés des aires des trois faces adjacentes à O constituent les trois termes du second membre, à la place des deux carrés des côtés de l’angle droit dans le théorème de Pythagore.

Jean-Paul de Gua publie ce résultat en 1783, après des énoncés antérieurs dus à Descartes et à Faulhaber. Le même principe admet des généralisations en dimensions supérieures.

Si OABC est un tétraèdre tel que les arêtes OA, OB et OC sont deux à deux perpendiculaires, alors les aires de ses faces vérifient :La conclusion concerne les aires, et non les longueurs des arêtes de la face ABC.

Le domaine est la géométrie euclidienne dans l’espace. Il faut disposer d’un tétraèdre OABC non aplati et vérifier trois orthogonalités au même sommet : OA est perpendiculaire à OB, OB à OC et OC à OA. Ces conditions rendent rectangles en O les trois faces adjacentes ; leurs aires déterminent alors celle de la face opposée.

Un tétraèdre possédant seulement une ou deux de ces orthogonalités ne suffit pas. La somme des trois carrés d’aires n’est alors pas garantie ; il faut calculer directement l’aire de ABC, par exemple à partir de deux vecteurs de cette face.

Considérons un tétraèdre trirectangle OABC dont les arêtes perpendiculaires mesurent OA = 3 cm, OB = 4 cm et OC = 12 cm. Le schéma identifie les trois faces rectangles et la face opposée dont on cherche l’aire.

1. Les faces OAB, OAC et OBC sont rectangles en O. Leurs aires valent respectivement :

2. Le théorème donne le carré de l’aire cherchée :

3. Comme une aire est positive, on prend la racine positive :

4. Pour contrôler le résultat, son carré redonne 936 cm⁴, exactement la somme obtenue à l’étape précédente. La valeur 30,59 cm² est un arrondi au centième ; 6√26 cm² est la valeur exacte.

Pour déterminer la face opposée, on calcule d’abord les trois aires rectangles à partir des longueurs issues de O, puis on additionne leurs carrés. Un calcul direct dans la face ABC reste préférable si les trois orthogonalités au sommet ne sont pas établies.

Pour retrouver l’aire d’une face adjacente, on isole son carré par soustraction. Cette voie n’est cohérente que si le carré de l’aire opposée est au moins égal à la somme des deux carrés connus ; un résultat négatif signale des données incompatibles.

Pour vérifier un modèle en coordonnées, on place O à l’origine et les trois autres sommets sur trois axes perpendiculaires. Le théorème fournit alors un contrôle indépendant des aires calculées par produits vectoriels.

Le théorème de Pythagore concerne les longueurs de trois côtés d’un triangle rectangle dans le plan. Le théorème de Gua concerne les aires des quatre faces d’un tétraèdre trirectangle dans l’espace. Des longueurs au carré dans le premier cas, des aires au carré dans le second : l’unité du résultat permet de trancher.

Trois angles droits au même sommet. Trois faces rectangles ne suffisent pas si leurs angles droits ne se rencontrent pas en O. Il faut contrôler séparément les trois paires d’arêtes OA–OB, OB–OC et OC–OA.

Cas dégénéré. Si l’une des trois longueurs issues de O vaut 0, les quatre points ne forment plus un tétraèdre non aplati. L’identité d’aires peut subsister comme limite algébrique, mais ce n’est plus le domaine géométrique ordinaire du théorème.

Carrés et unités. Chaque aire s’exprime en unités carrées, mais l’égalité additionne leurs carrés, donc des unités à la puissance quatre. Additionner directement 6, 18 et 24 cm² dans l’exemple produit 48 cm² et n’applique pas le théorème.

Racine finale. La formule fournit d’abord A_ABC². Oublier la racine donnerait 936 cm⁴ au lieu d’une aire ; la valeur exacte cherchée est 6√26 cm².

La fiche théorème de Pythagore permet de comparer précisément la relation plane entre longueurs et son analogue tridimensionnel entre aires.

La fiche tétraèdre revient sur la structure à quatre sommets et quatre faces qui porte le théorème de Gua. En dimensions supérieures, le même principe relie les mesures des faces d’un simplexe rectangle.