GéométrieNotion · Glossaire
Théodore de Cyrène
Mathématicien grec ayant vécu vers 460–vers 398 avant J.-C. Précepteur de Platon, il apparaît dans le dialogue philosophique le Théétète. Ses travaux portent sur les nombres irrationnels, c'est-à-dire les nombres qui ne peuvent s'exprimer comme rapport de deux entiers. On lui attribue une construction géométrique permettant d'obtenir les racines carrées des entiers consécutifs : partant d'un triangle rectangle isocèle de côté 1, il construit par étapes successives une spirale dont les hypoténuses ont pour longueurs √2, √3, √4, etc.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Situer Théodore de Cyrène à partir des informations historiques disponibles.
- Reconstruire les trois premières étapes de la spirale avec le théorème de Pythagore.
- Distinguer une racine carrée écrite avec √ d'une longueur nécessairement incommensurable.
En clair
Vers 460 à vers 398 avant J.-C., Théodore de Cyrène s'intéresse à des longueurs dont le rapport à l'unité n'est pas rationnel. Pour les rendre visibles, on lui attribue un enchaînement de triangles rectangles. Le premier a deux côtés de longueur 1 et une hypoténuse de longueur √2. Un nouveau côté de longueur 1 produit ensuite √3, puis √4, et ainsi de suite. Les triangles tournent peu à peu et dessinent une spirale.
Définition
Théodore de Cyrène est un mathématicien grec ayant vécu vers 460–vers 398 avant J.-C. Précepteur de Platon, il figure dans le Théétète. Ses travaux portent sur les nombres irrationnels : les nombres qui ne peuvent pas s'écrire comme le rapport de deux entiers.
La construction géométrique qu'on lui attribue enchaîne des triangles rectangles. Le premier triangle est isocèle : ses deux côtés perpendiculaires mesurent 1, donc son hypoténuse mesure √2. À chaque étape, un segment de longueur 1 est ajouté perpendiculairement à l'hypoténuse précédente. Le théorème de Pythagore fait alors augmenter de 1 le carré de la distance au point de départ. Les hypoténuses successives mesurent ainsi √2, √3, √4, puis les racines carrées des entiers suivants.
L'ensemble tourne autour du point de départ et forme la spirale de Théodore. Cette construction rend exactes des longueurs comme √2 ou √3 sans les remplacer par une écriture décimale approchée. Elle produit aussi √4 = 2 : la valeur obtenue à une étape de la spirale n'est donc pas nécessairement irrationnelle.
Un exemple, pas à pas
On construit les trois premiers triangles autour d'un point de départ O. Données :
• le segment OA mesure 1 ;
• chaque nouveau segment mesure 1 ;
• chaque nouveau segment est perpendiculaire au rayon précédent.
• le segment OA mesure 1 ;
• chaque nouveau segment mesure 1 ;
• chaque nouveau segment est perpendiculaire au rayon précédent.
1. Construire AB, perpendiculaire à OA et de longueur 1. Le triangle OAB est rectangle en A. Le théorème de Pythagore donne :
La longueur OB vaut donc √2.
2. Construire BC, perpendiculaire à OB et de longueur 1. Dans le triangle OBC, rectangle en B :
La nouvelle hypoténuse OC mesure √3.
3. Construire CD, perpendiculaire à OC et de longueur 1. On obtient exactement :
Ainsi, OD mesure √4 = 2. Le contrôle est refaisable à chaque étape : le carré du nouveau rayon doit dépasser de 1 celui du précédent. Les segments unitaires et les rayons successifs expliquent la forme tournante de la spirale.
En pratique
Pour construire √3 sur une figure, la spirale conserve une longueur exacte. Une approximation décimale est préférable seulement lorsqu'une mesure numérique suffit ; la construction géométrique convient quand la relation exacte doit rester visible.
Pour vérifier une étape, on élève au carré la nouvelle distance au centre. Le résultat doit être l'entier suivant, car le segment ajouté a pour carré 1. Une mesure dans la représentation serait moins fiable, puisqu'elle dépend de la précision du tracé.
Pour repérer les rayons dont la longueur est incommensurable avec l'unité, on examine l'entier sous la racine. L'étape √4 donne 2 et fournit immédiatement un contre-cas : la spirale construit des racines carrées consécutives, pas seulement des nombres irrationnels.
À ne pas confondre
La spirale de Théodore et une spirale quelconque. Le critère distinctif est la construction : ici, des triangles rectangles successifs ont tous un côté de longueur 1. Une courbe qui s'enroule sans ces triangles peut être une spirale, mais pas cette construction précise.
Une longueur incommensurable avec l'unité et une longueur simplement non entière. Une longueur est incommensurable avec l'unité lorsque leur rapport est irrationnel. Par exemple, la longueur √2 est incommensurable avec l'unité, tandis que √4 = 2 est un entier : l'écriture avec une racine ne suffit pas à trancher.
Limites et pièges
Attribution historique. La construction est attribuée à Théodore de Cyrène ; cette formulation prudente ne signifie pas qu'un document établit ici chaque détail de son invention. Il faut conserver « on lui attribue » plutôt que transformer l'attribution en certitude.
Dates approximatives. Les bornes vers 460 et vers 398 avant J.-C. sont données comme approximations. Les écrire sans « vers » créerait une précision que les informations disponibles ne justifient pas.
Racine carrée ne signifie pas toujours irrationnel. Lorsque l'entier est un carré parfait, la racine est entière. Le cas charnière visible dans les premières étapes est √4 = 2 ; il faut donc tester l'entier au lieu de se fier au symbole √.
Dessin et valeur exacte. Une longueur relevée sur une figure imprimée dépend de l'échelle et de la précision de l'instrument. Pour contrôler √2 ou √3, il faut utiliser la relation de Pythagore ; une mesure décimale ne donne qu'une approximation.
Pour aller plus loin
Irrationnels. Cette notion précise pourquoi certaines longueurs construites par Théodore ne peuvent pas être écrites comme un rapport de deux entiers.
spirale. Ce prolongement replace la chaîne de triangles de Théodore dans la famille plus large des figures qui s'enroulent autour d'un point.
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