GéométrieNotion · Glossaire
escargot de Pythagore
L'escargot de Pythagore est une construction géométrique plane en forme de spirale, permettant de représenter, à partir de √1, les racines carrées des entiers naturels successifs sous forme de longueurs géométriques. On part d'un triangle rectangle isocèle dont les deux côtés de l'angle droit ont chacun une longueur égale à 1 ; l'hypoténuse mesure alors √2. On construit ensuite, du côté extérieur et en conservant la même orientation, un second triangle rectangle dont l'un des côtés de l'angle droit est l'hypoténuse du premier triangle, et dont l'autre côté a longueur 1 ; l'hypoténuse de ce nouveau triangle vaut alors √3. Chaque triangle suivant est construit selon la même orientation extérieure. Le procédé se poursuit ainsi indéfiniment : à l'étape n, l'hypoténuse est de longueur √(n+1). Les hypoténuses successives s'enroulent autour du point initial, formant une spirale évoquant une coquille d'escargot. Cette construction est attribuée à Pythagore ou à Théodore de Cyrène, mathématicien grec du Ve siècle avant notre ère. La tradition attribue à Théodore la démonstration de l'irrationalité des racines carrées de 3 à 17 (hors les carrés parfaits) ; celle de √2 est généralement tenue pour antérieure.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Suivre la construction des rayons √2 à √5.
- Vérifier chaque nouvelle longueur avec le théorème de Pythagore.
- Reconnaître les erreurs d’angle, de longueur et d’interprétation des carrés parfaits.
En clair
On trace un premier triangle rectangle avec deux côtés de longueur 1. Son grand côté mesure √2. Puis on lui accroche, vers l’extérieur et toujours dans la même orientation, un nouveau triangle rectangle : le côté déjà obtenu est conservé et le côté ajouté mesure encore 1. Le nouveau grand côté mesure √3.
En répétant ce geste, les longueurs √4, √5 et les suivantes apparaissent. Tous ces grands côtés partent du même point et tournent peu à peu autour de lui. Leur succession dessine la forme de coquille qui vaut à la construction son nom d’escargot de Pythagore.
Définition
L’escargot de Pythagore, aussi appelé spirale de Théodore, est une suite plane de triangles rectangles. Le premier est isocèle : ses deux côtés perpendiculaires mesurent 1, donc son hypoténuse mesure √2. Chaque triangle suivant possède un côté de longueur 1 et reprend comme autre côté perpendiculaire l’hypoténuse du triangle précédent. Il est construit du côté extérieur approprié, en conservant la même orientation, afin d’obtenir la spirale polygonale annoncée. Sa nouvelle hypoténuse part du point initial commun.
Notons rn la longueur de l’hypoténuse obtenue après le n-ième triangle. Le théorème de Pythagore donne, pour n ≥ 2, la relation , avec . Ainsi, . Le segment initial de longueur 1 représente √1, puis les hypoténuses représentent successivement √2, √3, √4, et ainsi de suite. Le procédé se poursuit mathématiquement sans fin.
Les hypoténuses tournent autour de leur origine commune et forment une spirale polygonale évoquant une coquille. La construction est attribuée à Pythagore ou à Théodore de Cyrène, mathématicien grec du Ve siècle avant notre ère. La tradition lui attribue la démonstration de l’irrationalité des racines carrées de 3 à 17, à l’exception des carrés parfaits ; celle de √2 est généralement tenue pour antérieure.
Un exemple, pas à pas
On construit les quatre premiers triangles jusqu’à √5. Les données sont les suivantes :
le segment initial OA mesure 1 unité de longueur ;
le premier segment perpendiculaire AB mesure 1 unité de longueur ;
chacun des segments ajoutés BC, CD et DE mesure 1 unité de longueur ;
chaque segment ajouté est perpendiculaire au rayon qui le précède.
le segment initial OA mesure 1 unité de longueur ;
le premier segment perpendiculaire AB mesure 1 unité de longueur ;
chacun des segments ajoutés BC, CD et DE mesure 1 unité de longueur ;
chaque segment ajouté est perpendiculaire au rayon qui le précède.
Étape 1. Dans le triangle OAB, l’hypoténuse OB vérifie . Elle mesure donc √2 unités de longueur.
Étape 2. Dans le triangle OBC, le rayon OB devient un côté de l’angle droit. On obtient . Le rayon OC mesure √3 unités de longueur.
Étape 3. Le même calcul donne . Le rayon OD mesure √4, soit 2 unités de longueur.
Étape 4. Enfin, . Le rayon OE mesure √5 unités de longueur. Les quatre rayons calculés montrent comment les triangles s’enroulent autour de O.
Le résultat se contrôle sans mesurer le dessin : le carré de la dernière longueur doit valoir 5. Comme OD est perpendiculaire à DE, mesure 2 et que DE mesure 1, le calcul confirme bien la longueur √5.
En pratique
Pour représenter √5 comme une longueur exacte, on prolonge l’escargot jusqu’au quatrième triangle. Une valeur décimale convient si seul un ordre de grandeur est recherché ; la construction est préférable lorsque le segment de longueur √5 est l’objet attendu.
Pour vérifier un tracé, on contrôle à chaque étape le segment ajouté et l’angle droit. Si le nouveau côté ne mesure pas 1 ou n’est pas perpendiculaire au rayon précédent, il faut refaire cette étape avant d’attribuer au nouveau rayon la racine carrée suivante.
Pour comparer plusieurs racines carrées, les rayons issus du même point donnent une lecture géométrique cohérente. Si l’on veut seulement établir leur ordre exact, comparer les entiers placés sous les racines évite de dépendre de la précision du dessin.
À ne pas confondre
Le théorème de Pythagore. Il relie les longueurs des côtés d’un triangle rectangle. L’escargot est une construction répétée qui emploie cette relation avec un nouveau côté de longueur 1. Un triangle rectangle isolé relève du théorème, mais ne constitue pas à lui seul un escargot.
Une spirale quelconque. Une courbe qui tourne autour d’un point peut ressembler à un escargot de Pythagore. Le critère décisif est ici la chaîne de triangles rectangles et de rayons √2, √3, √4… Une courbe sans ces triangles n’est pas cette construction.
Limites et pièges
Côté ajouté différent de 1. Si un nouveau côté perpendiculaire au rayon précédent mesure une longueur a, le carré du rayon augmente de a2, et non de 1. Sans cette perpendicularité, il faut tenir compte de l’angle, par exemple avec la loi des cosinus. Le symptôme est l’absence de la suite √2, √3, √4… Il faut rétablir une longueur 1 ou recalculer la suite obtenue.
Angle non droit. Une simple apparence de perpendicularité ne suffit pas. Sans angle droit, l’addition des carrés utilisée dans l’exemple n’est plus valable. Il faut contrôler la perpendicularité avant de nommer la nouvelle longueur.
Carré parfait. À la troisième étape, l’hypoténuse vaut √4, donc 2. Toutes les longueurs de l’escargot ne sont pas irrationnelles. Lorsqu’un entier sous la racine est un carré parfait, il faut simplifier sa racine au lieu de la présenter comme irrationnelle.
Spirale lisse. Les rayons et les côtés construits sont des segments droits. Leur enroulement évoque une coquille, mais ne crée pas à lui seul une courbe lisse. Pour reconnaître l’escargot, il faut suivre la succession des triangles plutôt que son seul contour visuel.
Pour aller plus loin
théorème de Pythagore — Retrouvez la relation qui justifie chaque nouvelle longueur de l’escargot.
spirale — Situez la forme produite par les triangles parmi les objets qui s’enroulent autour d’un point.
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