puzzle de Clairaut

Imaginez un carré dont le côté mesure 7 unités. Quatre triangles rectangles identiques, de côtés perpendiculaires 3 et 4 unités, peuvent y être déplacés sans changer de forme. Dans une disposition, ils entourent une ouverture en forme de carré ; dans l'autre, ils laissent deux carrés plus petits. Le grand carré et les quatre triangles sont pourtant les mêmes dans les deux cas. Les deux espaces laissés libres ont donc la même aire : le premier a une aire de 5² = 25 unités carrées, tandis que les deux autres ont des aires de 3² = 9 et 4² = 16 unités carrées. Le puzzle rend ainsi visible l'égalité 3² + 4² = 5².

Le puzzle de Clairaut est une dissection géométrique du carré construit sur la somme des deux côtés perpendiculaires d'un triangle rectangle. Notons a et b les longueurs de ces côtés, et c la longueur de l'hypoténuse, c'est-à-dire le côté opposé à l'angle droit. Quatre copies du triangle sont placées dans un carré de côté a + b, puis réarrangées en conservant exactement les mêmes pièces.

Dans la première configuration, les quatre triangles bordent un carré central dont le côté vaut c. Dans la seconde, ils bordent deux carrés, de côtés a et b. Les quatre triangles ont la même aire dans les deux figures, et le grand carré a aussi la même aire. Les espaces restants ont donc la même aire, ce qui donne l'identité $a^2+b^2=c^{2}a^2\; +\; b^2\; =\; c^2$. La méthode s'applique aux triangles rectangles ; elle ne transforme pas un triangle quelconque en triangle rectangle et ne dépend pas de l'échelle du dessin.

Prenons un triangle rectangle dont les deux côtés perpendiculaires mesurent 3 unités et 4 unités, et dont l'hypoténuse mesure 5 unités. Les données sont donc : côté a = 3, côté b = 4, hypoténuse c = 5, côté du grand carré a + b = 7.

Le carré extérieur a une aire de 7² = 49 unités carrées.
Chaque triangle a une aire de (3 × 4) ÷ 2 = 6 unités carrées.
Les quatre triangles occupent 4 × 6 = 24 unités carrées.
L'espace restant mesure donc 49 − 24 = 25 unités carrées.
Dans la première disposition, cet espace est le carré de côté 5, donc son aire est 5² = 25 unités carrées.
Dans la seconde, il est formé des carrés de côtés 3 et 4, donc son aire est 3² + 4² = 9 + 16 = 25 unités carrées.

Le contrôle est immédiat : les deux calculs donnent exactement 25 unités carrées. La disposition géométrique confirme ainsi que 3² + 4² = 5², sans mesurer les segments dans la représentation.

Pour expliquer visuellement le théorème de Pythagore, on peut découper quatre triangles rectangles identiques dans un carré de côté a + b. Le déplacement des pièces conserve les longueurs et les aires, tandis que la forme de l'espace central change.

Une figure à l'échelle permet de vérifier le mécanisme avec les longueurs 3, 4 et 5. Elle sert à comprendre pourquoi les carrés construits sur les deux côtés de l'angle droit ont ensemble la même aire que le carré construit sur l'hypoténuse.

Pour obtenir une valeur inconnue dans un exercice, le calcul algébrique reste l'alternative adaptée. Le puzzle fournit surtout une preuve et une intuition ; il ne remplace pas la résolution numérique lorsque les longueurs ne sont pas directement visibles.

Le puzzle de Clairaut ne se confond pas avec une simple mesure sur une figure. Dans le puzzle, l'égalité des aires vient du déplacement de quatre pièces identiques dans le même carré extérieur. Une mesure approchée à la règle peut suggérer une relation, mais elle ne constitue pas la démonstration ; le cas 3–4–5 tranche en permettant de comparer les aires exactement.

Il ne se confond pas non plus avec la formule seule du théorème de Pythagore. La formule énonce la relation entre les longueurs d'un triangle rectangle ; le puzzle en donne une preuve par conservation d'aire. Si le triangle n'a pas d'angle droit, le critère ne s'applique pas comme tel.

Le dessin doit représenter quatre copies strictement identiques d'un triangle rectangle. Une pièce retournée reste congruente et conserve sa forme, ses longueurs et son aire : elle reste donc admissible si l'agencement autorise ce retournement. En revanche, une pièce déformée ou remplacée par un triangle seulement ressemblant ne permet plus d'invoquer la conservation d'aire ; il faut alors vérifier séparément les longueurs et les aires.

Le cas charnière est l'angle droit : les côtés a et b doivent être perpendiculaires, et c doit être leur hypoténuse. Pour l'exemple, on part d'un triangle rectangle 3–4–5 donné : sa bordure intérieure a donc un côté de longueur 5. Le réarrangement des pièces établit alors l'égalité d'aires 3² + 4² = 5². Sans angle droit, le carré central n'a pas cette interprétation et une autre relation, liée à la loi des cosinus, est nécessaire.

Une figure non dessinée à l'échelle reste une preuve si les constructions et les longueurs sont définies. À l'inverse, l'apparence d'un carré ou d'une égalité sur une image seule ne suffit pas : le bon réflexe consiste à identifier les pièces, le carré extérieur et la conservation de leur aire.

Pour replacer cette preuve dans l'histoire des démonstrations du théorème de Pythagore, consultez Le théorème de Pythagore… avant Pythagore !. Vous y gagnerez une comparaison historique des preuves et des idées géométriques associées à cette relation.