puzzle de al-Nayrizi

Imaginez un carrelage formé de petits carrés et de carrés plus grands. Chaque carré d'une famille est placé au milieu de quatre carrés de l'autre famille. Ce motif régulier peut être découpé suivant des triangles rectangles, puis réassemblé autrement.

Dans ce nouvel assemblage, les morceaux font apparaître trois carrés. Les deux premiers reposent sur les côtés de l'angle droit d'un triangle, et le troisième sur son côté le plus long. L'égalité des surfaces rend alors visible le théorème de Pythagore. Cette construction est aussi appelée pavage pythagoricien.

Le puzzle de al-Nayrizi désigne une démonstration visuelle du théorème de Pythagore fondée sur un pavage de carrés. Le motif associe deux familles de carrés de dimensions différentes : chaque carré d'une famille est entouré de quatre carrés de l'autre famille. Un découpage approprié transforme ce pavage en pièces qui se réassemblent sans perte ni chevauchement.

Pour un triangle rectangle, notons a et b les longueurs des deux côtés qui forment l'angle droit, et c la longueur du côté opposé à cet angle. Le réassemblage compare les aires des carrés construits sur ces trois côtés et conduit à l'identité suivante :

La preuve repose sur l'invariance de l'aire : les mêmes pièces occupent deux fois une même surface, mais les carrés visibles au centre ou sur les côtés ne sont pas disposés de la même manière. Le nom de pavage pythagoricien peut désigner ce type de dallage, sans faire de ce motif une nouvelle version du théorème.

Considérons un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent 3 et 4 unités. Le côté opposé à l'angle droit mesure 5 unités. Le pavage associé permet de comparer les trois carrés construits sur ces longueurs.

Données : côté a = 3 unités ; côté b = 4 unités ; côté c = 5 unités.

L'aire du premier carré vaut 3² = 9 unités².
L'aire du deuxième carré vaut 4² = 16 unités².
La somme des deux aires vaut 9 + 16 = 25 unités².
L'aire du troisième carré vaut 5² = 25 unités².

Dans le panneau gauche, repérez les quatre triangles rectangles et le carré central de côté 5 formés par le découpage du grand carré de côté 7. Dans le panneau droit, les mêmes quatre triangles remplissent les deux rectangles restants autour des carrés de côtés 3 et 4, chaque repère étant utilisé une seule fois. Les triangles occupent la même aire dans les deux dispositions ; en la retranchant de l'aire commune du grand carré, il reste donc 3² + 4² = 5², soit 25 unités². Pour refaire le contrôle, additionnez 9 et 16, puis comparez cette somme à l'aire du carré central.

En classe, on peut dessiner ou découper les pièces d'un pavage pour faire constater que les morceaux gardent leur aire lorsqu'ils changent de place. Le geste consiste à suivre les bords des carrés et des triangles, puis à comparer les deux assemblages.

Pour vérifier un triangle rectangle connu par ses longueurs, on calcule les deux carrés construits sur les côtés de l'angle droit et on additionne leurs aires. Cette construction complète le calcul par une lecture géométrique.

Pour une preuve générale, on conserve les mêmes longueurs a, b et c pendant le découpage. Une figure à l'échelle est préférable lorsque l'on veut observer les pièces ; un calcul algébrique est préférable lorsque les longueurs ne sont pas entières.

Le puzzle de al-Nayrizi n'est pas le théorème de Pythagore lui-même. Le théorème énonce une relation entre les longueurs d'un triangle rectangle ; le puzzle est une construction de pavage qui en donne une lecture par les aires. Le critère qui les sépare est testable : sans découpage ni réassemblage, l'égalité peut encore être utilisée, mais le puzzle n'est plus présent.

Il ne faut pas non plus confondre le pavage pythagoricien avec n'importe quel pavage de carrés. Un carrelage régulier ne suffit pas : il doit fournir les familles de carrés et le découpage qui rendent la relation de Pythagore visible.

Le réassemblage suppose un triangle rectangle. Si l'angle considéré n'est pas droit, l'identité a² + b² = c² ne constitue pas le critère adapté : la figure peut être découpée, mais elle ne donne pas cette conclusion. Il faut d'abord vérifier la nature de l'angle ou employer une relation appropriée à un triangle quelconque.

Dans l'exemple 3–4–5, les aires 9, 16 et 25 sont exactes, car les longueurs sont données exactement en unités. Une mesure approximative ne doit pas être forcée à produire une égalité exacte ; la précision de l'instrument doit alors être prise en compte.

Enfin, le dessin d'un pavage peut sembler convaincant sans respecter les longueurs annoncées. Le bon réflexe consiste à contrôler les côtés, les angles droits, l'absence de chevauchement et la conservation des pièces, plutôt qu'à conclure d'après la seule apparence.

Le théorème de Pythagore permet de replacer le puzzle dans la relation générale entre les trois côtés d'un triangle rectangle. Le lecteur y gagne une formulation indépendante du motif de pavage et peut comparer preuve visuelle et outil de calcul.

L'article Le théorème de Pythagore… avant Pythagore ! ouvre un prolongement historique sur les démonstrations et les usages antérieurs associés à cette relation. Il permet de distinguer l'invention d'un dispositif de pavage de l'histoire plus large du théorème.