puzzle d'Abul Wafa

Imaginez un carré découpé en plusieurs pièces. Sans jeter ni ajouter de matière, on déplace ces pièces pour obtenir trois carrés de même taille. Les pièces peuvent aussi faire le voyage inverse et reformer le carré initial.

Ce jeu de découpage est le puzzle d'Abul Wafa. Son exactitude tient à deux exigences visibles : les trois carrés obtenus sont identiques, et le réassemblage ne laisse ni trou ni chevauchement. Comme l'aire totale ne change pas, le côté de chacun des trois petits carrés n'est pas le tiers de celui du grand carré.

Le puzzle d'Abul Wafa est une dissection géométrique exacte : un carré est partagé en un nombre fini de pièces, puis les mêmes pièces sont déplacées et réassemblées en trois carrés congruents, c'est-à-dire de même forme et de même dimension. Le réassemblage inverse transforme trois carrés identiques en un seul carré. Aucune pièce n'est ajoutée, retranchée ou superposée.

Notons L la longueur du côté du carré initial et s celle de chacun des trois carrés obtenus, avec L et s strictement positives. La conservation de l'aire impose $L^2=3s^{2}L^2=3s^2$, donc $s=\frac{L}{\sqrt{3}}s=\backslash frac\{L\}\{\backslash sqrt\{3\}\}$. Cette égalité est une condition nécessaire : elle fixe les dimensions compatibles, mais ne décrit pas à elle seule les lignes de découpe. La construction attribuée à Abul Wafa fournit précisément un découpage et un réassemblage rigoureusement exacts.

La réalisation matérielle demande toutefois une grande précision, car certaines pièces sont petites. Le procédé servait aux artisans pour composer des mosaïques et des dallages géométriques. Sa généralisation à des carrés de dimensions différentes relie les aires de carrés construits sur des longueurs distinctes ; elle fournit ainsi une voie géométrique vers le théorème de Pythagore et vers d'autres décors en mosaïque.

Prenons un carré initial dont le côté mesure exactement 6√3 cm. On veut le réassembler en trois carrés identiques de 6 cm de côté. La figure associée compare les aires attendues ; elle ne représente pas les lignes de découpe du puzzle.

Données : un carré initial ; une longueur de côté égale à 6√3 cm ; trois carrés d'arrivée ; une longueur de côté égale à 6 cm pour chacun.

1. L'aire du carré initial vaut $(6\sqrt{3}{)}^2=108(6\backslash sqrt\{3\})^2=108$ cm².
2. L'aire d'un carré d'arrivée vaut $6^2=366^2=36$ cm².
3. L'aire totale des trois carrés vaut $3\times 36=1083\backslash times36=108$ cm².
4. Les deux aires totales sont donc égales.

Le contrôle peut être refait à partir des côtés : le rapport entre 6√3 cm et 6 cm vaut √3, et le carré de ce rapport vaut 3. Un grand carré a donc exactement l'aire des trois petits. Ce contrôle confirme que les dimensions sont compatibles avec le puzzle ; il ne suffit pas, à lui seul, à prouver qu'un découpage particulier fonctionne.

Pour préparer une mosaïque ou un dallage, le puzzle donne un principe de fabrication : découper un carré suivant une construction exacte, puis déplacer les pièces pour obtenir trois motifs carrés identiques. Lorsque de petites pièces rendent la découpe incertaine, un gabarit précis est préférable à un tracé approximatif.

Pour contrôler un projet avant la découpe, on compare d'abord les aires. Si le carré initial a pour côté L, chaque carré d'arrivée doit avoir pour côté L/√3. Un simple partage du côté en trois ne convient pas : il ne conserve pas l'aire totale.

Dans l'autre sens, trois carrés identiques peuvent être réunis en un seul carré avec les mêmes pièces. Pour des carrés de dimensions différentes, la généralisation devient un support de raisonnement sur l'addition des aires et peut servir de démonstration géométrique du théorème de Pythagore.

Partager un carré en trois aires égales. Trois bandes rectangulaires de même largeur partagent bien l'aire initiale en trois parts égales, mais elles ne sont pas trois carrés. Dans le puzzle d'Abul Wafa, le critère décisif est la forme finale : les mêmes pièces doivent composer trois carrés identiques.

Dessiner trois copies réduites d'un carré. Une réduction produit des carrés semblables au modèle, mais ne garantit pas qu'ils proviennent du découpage et du réassemblage de celui-ci. Le test qui tranche est matériel et géométrique : toutes les pièces du carré initial sont réutilisées, sans trou ni chevauchement.

L'égalité des aires ne fournit pas le découpage. Deux assemblages peuvent avoir la même aire totale sans que les pièces de l'un pavent l'autre. Le symptôme est un calcul correct accompagné de trous, de chevauchements ou de bords incompatibles. Il faut alors vérifier chaque ligne de coupe et chaque raccord du réassemblage.

Le côté n'est pas divisé par trois. Pour un carré initial de côté L, choisir trois carrés de côté L/3 ne restitue qu'un tiers de l'aire initiale, car leur aire totale vaut L²/3. Le côté correct est L/√3, dès que L est strictement positif.

Exact sur le papier ne signifie pas parfait après découpe. La solution géométrique est rigoureusement exacte, mais la petitesse de certaines pièces amplifie les erreurs de tracé et de coupe. Si des raccords échouent seulement à l'échelle de la précision de l'outil, il faut améliorer le gabarit ou la découpe plutôt que modifier les rapports théoriques.

Le cas de côté nul est dégénéré. Les relations d'aire restent formellement vraies lorsque L vaut 0, mais il n'existe alors ni carré de surface positive ni puzzle à découper. La construction porte sur des carrés dont les côtés sont strictement positifs.

La fiche trisection du carré replace ce puzzle dans le problème géométrique général qui consiste à obtenir trois carrés de même aire.

La fiche Abu-l'Wafa permet de situer le mathématicien auquel cette construction exacte est attribuée.

La fiche théorème de Pythagore approfondit la relation entre les aires de carrés que la généralisation du puzzle rend géométriquement visible.