trisection du carré

Imaginez un carré en papier. On le coupe en plusieurs pièces, puis on déplace et tourne ces pièces pour former exactement trois nouveaux carrés identiques. Aucune matière ne doit être ajoutée ni perdue : chacun des trois carrés reçoit donc le tiers de l’aire de départ.

Le défi ne se réduit pas à partager une aire en trois. Il faut trouver des morceaux dont les bords s’ajustent réellement, puis établir que les trois assemblages sont bien des carrés de mêmes dimensions.

La trisection du carré est une dissection géométrique : un carré initial est partagé en un nombre fini de pièces, et toutes ces pièces sont réassemblées en trois carrés congruents. Ici, « congruents » signifie que les trois carrés ont exactement les mêmes dimensions. Le découpage et le réassemblage doivent être exacts ; une ressemblance obtenue seulement à l’œil ne suffit pas.

Appelons L la longueur, strictement positive, du côté du carré initial. Son aire vaut L². Comme les trois carrés finaux ont la même aire, chacun possède une aire égale à L²/3. Leur côté est donc fixé par la conservation de l’aire : $L\mathrm{/}\sqrt{3}L/\backslash sqrt\{3\}$. Cette relation donne une condition nécessaire au résultat, mais elle ne fournit pas à elle seule les lignes de coupe.

Le problème comporte ainsi deux tâches distinctes. Il faut d’abord proposer une dissection qui emploie toutes les pièces sans chevauchement, puis démontrer que chaque contour obtenu possède quatre côtés égaux et quatre angles droits. Chercher un découpage minimal ajoute une question d’optimisation : un montage valide ne prouve pas qu’aucun montage utilisant moins de pièces n’existe. Cette famille de problèmes est liée, dans ses origines anciennes, aux démonstrations géométriques du théorème de Pythagore.

On part d’un carré dont le côté mesure 6 cm et l’on cherche les dimensions que devront avoir les trois carrés congruents après réassemblage.
Données : côté initial : 6 cm ; nombre de carrés finaux : 3 ; aucune aire ajoutée ni retirée.

1. L’aire initiale est 6 × 6 = 36 cm².
2. L’aire de chaque carré final est 36 ÷ 3 = 12 cm².
3. Le côté d’un carré final est la racine carrée de 12, soit exactement 2√3 cm.
4. Arrondie au centième, cette longueur vaut environ 3,46 cm.

Le schéma met en regard l’aire du carré initial et les trois aires finales. Il rend visible le bilan d’aire, sans prétendre fournir les lignes d’une dissection particulière.

Le contrôle d’aire est refaisable : 3 × 12 = 36 cm². Il confirme les dimensions nécessaires. Pour valider un découpage proposé, il faudrait encore vérifier que toutes les pièces sont utilisées et que les trois contours obtenus sont exactement des carrés de côté 2√3 cm.

Pour contrôler un patron de découpe, on commence par calculer le tiers de l’aire initiale. Ce test élimine immédiatement un assemblage dont l’un des trois carrés n’a pas la bonne aire, mais il doit être complété par le contrôle des côtés et des angles.

Pour comparer deux dissections valides, on compte leurs pièces et l’on examine la justification de chaque raccord. Le patron qui utilise le moins de pièces n’est retenu comme minimal que si l’impossibilité de faire mieux est également démontrée.

Pour fabriquer une maquette, si L désigne le côté initial, la valeur exacte d’un côté final est L/√3 ; on peut en utiliser une approximation numérique pour le mesurer. Pour une preuve géométrique, on conserve la valeur exacte et l’on justifie les longueurs : une mesure au millimètre ne remplace pas une égalité.

Trisection d’un angle. Elle partage un angle en trois angles égaux, tandis que la trisection du carré transforme une surface en trois carrés congruents. Trois secteurs angulaires égaux ne constituent donc pas une solution au problème de découpage du carré.

Partage en trois bandes. Deux coupes parallèles peuvent donner trois rectangles de même aire, mais pas trois carrés. Le critère qui tranche est la forme finale : chacun des trois assemblages finaux doit avoir quatre côtés égaux et quatre angles droits.

Quadrillage en neuf carrés. Partager chaque côté en trois produit neuf petits carrés congruents, et non trois. Regrouper ces neuf cases en trois bandes donne encore des rectangles, sauf si un autre découpage et un réassemblage sont fournis.

Même aire, mauvaise forme. Obtenir trois régions de même aire ne suffit pas : elles peuvent être rectangulaires ou irrégulières. Il faut contrôler séparément que chaque contour final est un carré et que les trois côtés correspondants ont la même longueur.

Valeur approchée prise pour une valeur exacte. Dans l’exemple, 3,46 cm est un arrondi de 2√3 cm. Construire ou raisonner avec 3,46 comme s’il s’agissait d’une égalité crée un petit défaut d’aire ; la preuve doit conserver 2√3 cm.

Assemblage seulement plausible. Des bords qui semblent coïncider sur un dessin peuvent laisser un interstice ou produire un angle qui n’est pas droit. On remplace le jugement visuel par des égalités de longueurs et une justification des angles.

Minimalité non établie. Un découpage réussi établit l’existence d’une solution avec son nombre de pièces. Il ne suffit pas à prouver que ce nombre est minimal ; cette conclusion exige aussi d’exclure tous les découpages comportant moins de pièces.

La dissection de Perigal prolonge l’étude des découpages et des réassemblages liés au théorème de Pythagore.

L’article Le théorème de Pythagore… avant Pythagore ! replace les raisonnements géométriques anciens dans leur contexte.