puzzle de Leitzmann

Imaginez un triangle rectangle et trois carrés construits sur ses côtés. Dans le cas 3–4–5, les deux petits carrés ont des aires de 9 et 16 unités carrées, tandis que le grand en a 25 : les deux petites surfaces réunies occupent autant de place que la grande.

Le puzzle de Leitzmann illustre le principe d'une dissection géométrique liée au théorème de Pythagore. Une dissection partage une figure en pièces pour les réassembler en une autre figure de même aire. Ici, construisez un carré sur chacun des deux côtés de l'angle droit, puis reliez le centre de chaque carré à ses quatre sommets : le tracé isole quatre régions triangulaires dans chacun. Numérotez ces régions de 1 à 8 ; la configuration finale sur l'hypoténuse est présentée comme une illustration, et non comme un réassemblage général démontré.

Désignons par a et b les longueurs des deux côtés perpendiculaires, appelés cathètes, et par c la longueur de l'hypoténuse. Les aires des carrés correspondants valent a² et b², tandis que celle du carré construit sur l'hypoténuse vaut c². L'égalité $a^2+b^2=c^{2}a^2+b^2=c^2$ s'applique aux triangles rectangles et relie les longueurs par l'égalité des aires, non par une égalité des longueurs elles-mêmes ; le cas 3–4–5 en donne le contrôle numérique.

Prenons un triangle rectangle dont les deux côtés perpendiculaires mesurent 3 et 4 unités. La longueur de l'hypoténuse est alors 5 unités. Les carrés construits sur ces trois côtés ont donc respectivement pour aires 9, 16 et 25 unités carrées.

Dans l'illustration numérique, les deux petits carrés fournissent huit zones rectangulaires : quatre zones A et quatre zones B. Leurs aires sont réparties dans le carré de côté 5 sans recouvrement ni vide ; les rectangles finaux ne sont pas présentés comme les mêmes pièces conservées. On obtient $3^2+4^2=9+16=25=5^{2}3^2+4^2=9+16=25=5^2$. Le calcul vérifie l'aire annoncée et cette partition exacte illustre le cas numérique ; elle ne constitue pas à elle seule la dissection triangulaire générale.

Pour observer l'illustration numérique, choisissez le cas 3–4–5 et construisez soigneusement un carré sur chacun des trois côtés. Les trois aires sont entières : 9, 16 et 25 unités carrées. Dans le schéma, les quatre zones rectangulaires associées au carré de côté 3 sont repérées A1 à A4 et celles du carré de côté 4 B1 à B4 ; comparez leurs aires avec les rectangles du carré de côté 5.

Le contrôle se fait en deux temps. Vérifiez d'abord que les quatre zones A représentent 4 × 9/4 = 9 unités carrées et les quatre zones B 4 × 16/4 = 16 unités carrées. Leur partition finale couvre ensuite le carré de côté 5 sans trou ni chevauchement ; les rectangles finaux ne sont toutefois pas des pièces conservées de même forme. Cette observation permet de relier immédiatement le pavage numérique à l'égalité 9 + 16 = 25.

Le puzzle de Leitzmann met en regard deux dispositifs à ne pas confondre. Le tracé général repère huit régions triangulaires, tandis que le dispositif numérique 3–4–5 vérifie une partition d'aires avec des zones rectangulaires : ses rectangles finaux ne sont pas les mêmes pièces que les régions sources.

Il ne faut pas non plus confondre le principe de cette dissection avec le théorème réciproque de Pythagore. Pour un triangle rectangle, la relation mathématique reste que la somme des aires des deux carrés construits sur les cathètes égale l'aire du carré construit sur l'hypoténuse, soit a²+b²=c². La réciproque part de cette relation entre carrés de longueurs pour conclure qu'un triangle est rectangle ; elle répond à une autre question.

Le principe du réassemblage peut fournir une preuve d'égalité d'aires, mais le tracé général présenté ici ne vérifie pas à lui seul la congruence des huit régions ni leur réassemblage exact. Pour évaluer une dissection, il faut vérifier que chaque pièce possède la forme et les dimensions annoncées, que les pièces couvrent entièrement la figure finale et qu'elles ne se chevauchent pas. Une preuve complète dépendrait donc du triangle rectangle choisi et d'un schéma précis de construction, reproduit avec des segments correspondant réellement à ce schéma.

Dans un réassemblage effectivement construit, une figure mal tracée peut laisser un petit vide ou provoquer un chevauchement. Ce défaut matériel ne réfute pas le théorème : il signale que les longueurs, les angles ou les positions n'ont pas été reproduits avec assez de précision. Inversement, une simple mesure proche de 25 ne prouve pas l'égalité exacte ; le contrôle numérique 3–4–5 repose ici sur les aires exactes 9, 16 et 25. Le raisonnement porte sur des aires géométriques idéales, dans le plan euclidien, pour un triangle rectangle non dégénéré.

Le puzzle de Leitzmann appartient à la famille des preuves par dissection : une transformation de la figure rend l'égalité d'aires visible sans développer de calcul algébrique. Le même théorème peut ainsi être abordé par la géométrie des surfaces, par des réarrangements ou par des démonstrations utilisant des relations entre côtés.

Pour prolonger cette lecture, l'article Le théorème de Pythagore… avant Pythagore ! replace le théorème dans une histoire plus large des démonstrations géométriques. Le puzzle rappelle ainsi qu'un résultat peut être compris par une construction avant d'être formalisé par une formule.