puzzle de Bhâskara

Imaginez quatre exemplaires d'un même triangle rectangle, placés dans un grand carré. Leurs hypoténuses en dessinent le contour et leurs autres côtés encadrent un petit carré central.

Le puzzle comporte donc cinq pièces. Sans les déformer, on les réorganise pour faire apparaître deux carrés. Comparer les aires avant et après rend visible l'égalité de Pythagore.

Le puzzle de Bhâskara est une preuve par dissection du théorème de Pythagore. Il s'applique à un triangle rectangle et utilise quatre copies congruentes de ce triangle. Les deux côtés adjacents à l'angle droit sont les cathètes ; leurs longueurs sont notées a et b. La longueur de l'hypoténuse, opposée à l'angle droit, est notée c.

Dans la première disposition, les quatre hypoténuses bordent un carré de côté c. Les cathètes délimitent au centre un carré de côté égal à la différence entre a et b, prise en valeur absolue. Les cinq pièces — quatre triangles et ce carré central — gardent leur aire pendant le déplacement. Leur réorganisation donne deux carrés d'aires a² et b². L'aire totale vaut donc aussi c², d'où l'identité $a^2+b^2=c^{2}a^2+b^2=c^2$. Cette conclusion suppose que le triangle initial est rectangle.

Prenons un triangle rectangle dont les cathètes mesurent 3 et 4 unités, et dont l'hypoténuse mesure 5 unités. Données : quatre triangles identiques ; un grand carré de côté 5 ; un petit carré central de côté 4 − 3 = 1. La figure matérialise cette décomposition sans remplacer le calcul.

1. Calculez l'aire d'un triangle : 3 × 4 ÷ 2 = 6 unités carrées.
2. Calculez l'aire des quatre triangles : 4 × 6 = 24 unités carrées.
3. Ajoutez l'aire du carré central : 24 + 1² = 25 unités carrées.
4. Comparez avec les deux carrés des cathètes : 3² + 4² = 9 + 16 = 25 unités carrées.

Les deux comptes donnent exactement 25 unités carrées, soit l'aire du carré de côté 5. Pour contrôler, recalculez directement 5² = 25 : l'aire n'a pas changé lors du réagencement.

Avec du papier quadrillé, tracez quatre triangles rectangles identiques, puis le carré formé par leurs hypoténuses. Le découpage est préférable à un calcul seul lorsque l'objectif est d'observer la conservation de l'aire.

Pour vérifier des longueurs numériques, le calcul des trois carrés est plus direct. On choisit le puzzle lorsque la question porte sur la raison géométrique de l'égalité, et le calcul lorsque seules les valeurs sont recherchées.

Avant de conclure, comptez les quatre triangles et le carré central, puis assurez-vous qu'aucune pièce ne se chevauche et qu'aucun vide n'apparaît. Ces contrôles rendent la comparaison d'aires valable.

Le théorème de Pythagore. Le théorème est l'énoncé reliant les trois côtés d'un triangle rectangle ; le puzzle de Bhâskara est une manière particulière de le démontrer. Si l'on affirme seulement l'égalité des carrés, on énonce le théorème ; si l'on conserve et réorganise cinq pièces, on emploie le puzzle.

Une vérification numérique. Constater que 3² + 4² = 5² confirme un seul jeu de longueurs. La dissection explique l'identité pour tout triangle rectangle admissible, car elle compare les aires des mêmes pièces.

Triangle non rectangle. Si l'angle choisi n'est pas droit, les quatre copies ne portent plus les hypothèses de la construction. Il faut d'abord vérifier l'angle droit, au lieu d'appliquer automatiquement la relation de Pythagore.

Cathètes de même longueur. Lorsque a = b, le carré central a un côté nul : il se réduit à une aire nulle. La comparaison reste obtenue comme cas limite, mais le « cinquième morceau » n'est plus une pièce matérielle découpable.

Dessin seulement ressemblant. Des pièces qui se chevauchent ou laissent un interstice faussent l'argument. Il faut contrôler la congruence des quatre triangles, l'ajustement des bords et la conservation exacte des cinq pièces.

Théorème de Pythagore — Retrouvez l'énoncé général auquel la dissection de Bhâskara donne une preuve visuelle par conservation des aires.