spirale

Imaginez un point qui tourne autour d’un centre pendant que sa distance au centre augmente ou diminue, sans revenir au même rayon. Sa trajectoire s’enroule en spires : c’est l’intuition d’une spirale plane. Contrairement à un cercle, chaque nouveau tour passe à une autre distance du centre.

La régularité de cet écart dépend de la spirale choisie. Dans une spirale d’Archimède, deux tours consécutifs restent séparés par la même distance radiale ; dans d’autres familles, cet espacement augmente ou diminue.

Une spirale est une courbe du plan décrite autour d’un pôle. En coordonnées polaires, chaque point est repéré par son rayon polaire r, distance au pôle, et par son angle θ. La courbe s’écrit alors $r=f(\theta )r=f(\backslash theta)$, où la fonction f associe un rayon à chaque angle.

Dans la définition adoptée ici, f est strictement monotone et continue sur un intervalle d’angles non borné. Le rayon croît ou décroît continûment quand l’angle avance, et les spires successives restent distinctes. L’intervalle non borné permet d’effectuer une infinité de tours. Une telle courbe est transcendante : elle n’est pas le lieu des zéros d’un polynôme non nul en deux coordonnées cartésiennes.

Le rayon peut devenir arbitrairement grand, tendre vers zéro ou converger vers un rayon positif. Dans ce dernier cas, les spires se rapprochent d’un cercle sans nécessairement l’atteindre. Certaines branches possèdent plutôt une asymptote droite, comme la spirale hyperbolique. Le mot vient du latin spira ou du grec speira, qui évoquent un enroulement.

Construisons une spirale d’Archimède. L’angle θ est mesuré en radians, le rayon r en centimètres, et la relation choisie est $r=\mathrm{0,5}\theta r=0\{,\}5\backslash theta$. Le tracé commence au pôle pour θ = 0 et s’arrête après deux tours, à θ = 4π.

1. Au départ, θ = 0 donne r = 0 cm. Le premier point est donc le pôle.

2. Après un tour, θ = 2π donne r = π cm, soit environ 3,14 cm.

3. Après deux tours, θ = 4π donne r = 2π cm, soit environ 6,28 cm. La figure matérialise cette croissance régulière du rayon.

Le contrôle consiste à comparer deux angles séparés d’un tour : le rayon augmente toujours de 0,5 × 2π = π cm. L’écart radial entre deux spires consécutives est donc constant et vaut environ 3,14 cm.

Pour modéliser un enroulement plan, on choisit la famille selon l’espacement observé. Pour représenter un écart radial constant, on peut choisir le modèle d’Archimède, dont le rayon dépend linéairement de l’angle ; un écart qui grandit à chaque tour appelle une autre loi, par exemple logarithmique.

Pour tracer la courbe, les coordonnées polaires sont plus directes que les coordonnées cartésiennes : on fixe plusieurs angles, on calcule le rayon correspondant, puis on place les points autour du pôle. Les coordonnées cartésiennes restent utiles si le logiciel ne gère pas le repérage polaire.

Pour reconnaître la dimension du mouvement, on observe le rôle de l’axe. Un enroulement entièrement contenu dans un plan est une spirale ; si le point avance aussi le long d’un axe de l’espace, le modèle adapté est une hélice.

Spirale et cercle. Sur un cercle centré au pôle, le rayon reste constant pendant que l’angle varie. Sur une spirale, le rayon varie avec l’angle. Une courbe qui fait plusieurs tours exactement au même rayon est donc un cercle parcouru plusieurs fois, pas une spirale à spires distinctes.

Spirale et hélice. Une spirale est plane. Une hélice combine une rotation autour d’un axe et une translation le long de cet axe. Le profil d’un ressort cylindrique est une hélice, même si une vue prise dans l’axe peut sembler circulaire.

Un dessin de quelques tours n’est qu’un extrait. La définition retenue exige un intervalle d’angles non borné et une infinité de spires. Le tracé de l’exemple s’arrête à 4π, soit deux tours, mais la relation peut être prolongée au-delà.

Monotone ne signifie pas automatiquement strictement monotone. Si le rayon reste constant sur tout un intervalle d’angles, la courbe contient un arc de cercle et les spires peuvent cesser d’être distinctes. Il faut contrôler la variation effective de f, pas seulement son sens global de variation.

Une limite finie du rayon ne met pas fin aux tours. Si r tend vers une valeur positive tandis que |θ| devient arbitrairement grand, la courbe accumule ses spires près d’un cercle asymptote. Elle ne se confond pas pour autant avec ce cercle.

L’asymptote dépend de la branche étudiée. Pour une spirale hyperbolique, le rayon peut tendre vers zéro dans un sens et une branche peut s’approcher d’une droite dans l’autre. Il faut préciser quelle limite de θ est considérée avant de nommer l’asymptote.

Les coordonnées polaires donnent le langage naturel pour passer de l’angle au rayon et construire une spirale point par point.

L’article Comment Archimède a quarré sa spirale prolonge l’exemple par une propriété classique de cette courbe particulière.

La fiche asymptote précise ce que signifie l’approche d’un cercle ou d’une droite sans confusion avec une intersection.

La fiche Hélice développe le passage d’un enroulement plan à une courbe qui progresse le long d’un axe.