spirale hyperbolique

Imaginez un point qui tourne autour d'un centre tout en s'en rapprochant. Après un demi-tour, il est à environ 1,91 cm du centre ; après un tour, à environ 0,95 cm, si le paramètre de longueur vaut 6 cm. Doubler l'angle parcouru divise donc la distance par deux.

Cette trajectoire est une spirale hyperbolique. Elle s'enroule indéfiniment vers le centre sans l'atteindre pour un angle fini. Dans l'autre direction, une branche s'éloigne tout en se rapprochant de la droite horizontale située à la hauteur du paramètre.

Dans un repère polaire de centre O, un point est décrit par sa coordonnée radiale signée r et par l'angle θ, mesuré en radians depuis l'axe horizontal ; sa distance à O est |r|. Pour un paramètre de longueur non nul a, la spirale hyperbolique suit la relation $r=\frac{a}{\theta }r=\backslash frac\{a\}\{\backslash theta\}$, avec θ non nul. Sur la branche où a est positif et θ aussi, r est une distance positive qui diminue quand l'angle augmente.

Les coordonnées cartésiennes du point sont obtenues par $x=\frac{a\cos \theta }{\theta },y=\frac{a\sin \theta }{\theta }x=\backslash frac\{a\backslash cos\backslash theta\}\{\backslash theta\},\backslash qquad\; y=\backslash frac\{a\backslash sin\backslash theta\}\{\backslash theta\}$. Lorsque θ tend vers +∞, r tend vers 0 : l'origine est approchée, mais elle n'est atteinte pour aucune valeur finie de θ. Lorsque θ tend vers 0 par valeurs positives, x devient arbitrairement grand et y tend vers a ; la droite y = a est donc une asymptote.

Deux constructions permettent de retrouver la courbe autrement que par le calcul de points. L'inversion d'une spirale d'Archimède transforme sa distance proportionnelle à l'angle en une distance inversement proportionnelle à cet angle. La projection conique d'une hélice circulaire sur un plan perpendiculaire à son axe offre, elle, une construction spatiale de la spirale hyperbolique.

Traçons quelques points de la spirale dont le paramètre de longueur a vaut 6 cm. Les données sont a = 6 cm et quatre angles : π/2, π, 2π et 3π radians. Pour chaque angle non nul, la distance au centre vaut 6/θ.

1. Pour θ = π/2, $r=\frac{6}{\pi \mathrm{/}2}=\frac{12}{\pi }\approx \mathrm{3,82}\mathrm{c}\mathrm{m}r=\backslash frac\{6\}\{\backslash pi/2\}=\backslash frac\{12\}\{\backslash pi\}\backslash approx3\{,\}82\backslash \; \backslash mathrm\{cm\}$. Le point se trouve sur l'axe vertical, aux coordonnées (0 ; 12/π).

2. Pour θ = π, la distance vaut 6/π ≈ 1,91 cm et le point a pour coordonnées (−6/π ; 0). Pour θ = 2π, elle vaut 3/π ≈ 0,95 cm et le point est (3/π ; 0).

3. Pour θ = 3π, la distance vaut 2/π ≈ 0,64 cm et le point est (−2/π ; 0). Le tracé calculé relie ces positions et montre les tours qui se resserrent autour de O.

4. Le contrôle consiste à doubler le dernier angle. À 6π radians, la distance est 1/π ≈ 0,32 cm, exactement la moitié de celle obtenue à 3π. Cette division par deux confirme la relation inverse entre r et θ.

Pour tracer la courbe, on choisit des angles, on calcule r = a/θ, puis on place chaque point dans un repère polaire. Des angles régulièrement espacés sont préférables à un dessin à main levée lorsque les distances doivent être comparées.

On obtient exactement cette spirale en projetant une hélice circulaire idéale depuis un centre situé sur son axe vers un plan perpendiculaire à cet axe, lorsque la hauteur sur l'hélice est proportionnelle à l'angle. La vue plongeante ordinaire d'un escalier en colimaçon donne seulement une ressemblance : sans ce modèle géométrique et ces conditions de projection, elle ne réalise pas nécessairement une spirale hyperbolique.

Sur un stade, la disposition de départs décalés sur des pistes concentriques peut rappeler visuellement une spirale. Cette analogie ne suffit toutefois pas à en faire une spirale hyperbolique : ces positions ne vérifient en général pas la relation r = a/θ.

Avec la spirale d'Archimède. Dans la spirale hyperbolique, le produit rθ reste égal à a : doubler θ divise r par deux. La spirale d'Archimède est ici la courbe dont l'inversion produit la spirale hyperbolique ; les deux noms ne désignent donc pas le même tracé.

Avec une hyperbole. Le mot « hyperbolique » vient de la relation inverse entre la distance r et l'angle θ. Le critère qui tranche est le système de coordonnées : r = a/θ décrit une spirale en coordonnées polaires, et non une hyperbole du plan cartésien.

À l'angle nul. La formule r = a/θ n'est pas définie pour θ = 0. Il ne faut donc pas placer un point « à l'infini » : sur la branche positive, on étudie la limite lorsque θ s'approche de 0, et l'on obtient l'asymptote y = a.

Au voisinage du centre. La distance r tend vers 0 quand θ tend vers +∞, mais aucune valeur finie de θ ne donne r = 0 si a est non nul. L'origine est un point limite du paramétrage et un point d'accumulation du tracé, pas une asymptote ni un point ordinaire du paramétrage.

Avec des angles négatifs. Une coordonnée radiale négative peut être interprétée en retournant la direction de π radians. Pour éviter un tracé ambigu, il faut annoncer la convention choisie ; la branche θ > 0 suffit pour les limites et l'exemple de cette fiche.

Avec a = 0. La relation donnerait r = 0 pour tout angle non nul et réduirait le tracé à l'origine. Ce cas dégéné n'est pas une spirale hyperbolique ; la définition précise exige donc a non nul.

Les coordonnées polaires expliquent comment un angle et une distance déterminent chaque point du tracé.

La spirale d'Archimède permet d'approfondir la courbe dont l'inversion donne la spirale hyperbolique.

La notion d'asymptote précise le comportement de la courbe vers la droite y = a ; lorsque θ tend vers +∞, l'origine est quant à elle un point limite du paramétrage.

L'hélice éclaire l'origine spatiale de la spirale obtenue par projection conique sur un plan perpendiculaire à l'axe.