GéométrieFormule · Glossaire
formule de la médiane
Dans un triangle euclidien, la formule de la médiane relie la longueur d’une médiane aux trois côtés : le carré de la médiane issue d’un sommet vaut la demi-somme des carrés des deux côtés adjacents, moins le quart du carré du côté opposé. Elle permet ainsi de calculer cette médiane à partir des trois côtés, à condition qu’elle joigne bien le sommet au milieu du côté opposé.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les côtés et le milieu associés à une médiane donnée.
- Appliquer la formule d’Apollonius au triangle de côtés 5, 7 et 8.
- Obtenir la valeur exacte √21 puis son approximation 4,58.
- Contrôler le calcul en retrouvant 148 dans les deux membres.
- Éviter les confusions avec une hauteur, une médiatrice ou une cévienne quelconque.
En clair
Dans un triangle, marquez le milieu d’un côté puis reliez-le au sommet opposé : ce segment est une médiane. Si les trois côtés sont connus, la formule de la médiane donne sa longueur sans avoir à mesurer le dessin.
Avec des côtés de 5, 7 et 8 unités, la médiane tracée vers le côté de 8 unités mesure √21, soit environ 4,58 unités. La formule combine les carrés des longueurs : elle reste donc fiable même si le triangle est dessiné de travers ou à une autre échelle.
Définition
La formule de la médiane, ou théorème d’Apollonius, est une identité de géométrie euclidienne. Dans un triangle ABC, le point A’ désigne le milieu du côté [BC] et le segment [AA’] est la médiane issue du sommet A. Les longueurs AB et AC sont les côtés adjacents à A ; BC est le côté opposé.
Ces quatre longueurs vérifient : . Une forme directement utilisable pour calculer la médiane est : . La quantité sous la racine est positive pour un triangle non dégénéré et nulle seulement dans le cas limite où A est confondu avec le milieu de [BC].
L’identité ne dépend ni de l’orientation ni de l’échelle du dessin. Elle se démontre par calcul vectoriel à partir de la relation de milieu, ou par la loi du parallélogramme. Dans un triangle rectangle en A, elle entraîne le cas particulier AA’ = BC/2.
Le principe
Si ABC est un triangle euclidien et si A’ est le milieu de [BC], alors la médiane [AA’] vérifie :
Pour isoler sa longueur, on soustrait BC² puis on divise par 4 : AA’² = (2AB² + 2AC² − BC²)/4. La racine carrée positive donne AA’, car une longueur est non négative.
Quand l'utiliser
La formule s’applique aux longueurs d’un triangle dans le plan euclidien, et plus généralement dans un espace affine euclidien. Il faut connaître les trois côtés, ou bien trois des quatre longueurs AB, AC, BC et AA’, et vérifier que A’ est exactement le milieu de [BC]. Les longueurs doivent être exprimées dans une même unité avant d’élever leurs valeurs au carré.
Si le point choisi sur [BC] n’est pas le milieu, le segment issu de A n’est pas cette médiane et l’identité ne s’applique pas. Il faut alors employer une relation adaptée à une cévienne quelconque, comme le théorème de Stewart. De même, trois nombres qui ne satisfont pas les inégalités triangulaires ne définissent aucun triangle à traiter.
Un exemple, pas à pas
Considérons un triangle ABC dont les côtés mesurent AB = 5 unités, AC = 7 unités et BC = 8 unités. Le point A’ est le milieu de [BC], donc BA’ = A’C = 4 unités. Nous cherchons la longueur AA’.
1. Remplaçons les longueurs dans la formule : .
2. Calculons les carrés et les produits : 50 + 98 = 4AA’² + 64, donc 148 = 4AA’² + 64.
3. Soustrayons 64 puis divisons par 4 : 84 = 4AA’², puis AA’² = 21. La longueur cherchée est donc AA’ = √21 ≈ 4,58 unités.
4. Contrôlons en sens inverse : 4 × 21 + 8² = 84 + 64 = 148, tandis que 2 × 5² + 2 × 7² = 50 + 98 = 148. Les deux membres sont égaux.
En pratique
Pour calculer une médiane à partir des trois côtés, placez le carré du côté opposé avec un signe moins, divisez le résultat par 4, puis prenez la racine carrée positive. Un tracé à l’échelle peut ensuite servir de contrôle approximatif, mais pas de preuve.
Pour vérifier qu’une longueur annoncée peut être celle de la médiane, réinjectez-la dans 2AB² + 2AC² = 4AA’² + BC². Si les données proviennent de mesures, comparez les deux membres avec la précision des instruments plutôt que d’exiger une égalité parfaite.
Lorsque le triangle est rectangle et que la médiane part de l’angle droit, la propriété du milieu de l’hypoténuse donne directement AA’ = BC/2. Dans les autres triangles, la formule générale reste nécessaire.
À ne pas confondre
Médiane et médiatrice. Une médiane relie un sommet au milieu du côté opposé ; une médiatrice est la droite perpendiculaire à un segment passant par son milieu. Dans un triangle scalène, la médiane [AA’] n’est généralement pas perpendiculaire à [BC].
Médiane et hauteur. Une hauteur issue de A rencontre la droite (BC) à angle droit, tandis que la médiane rencontre [BC] en son milieu. Elles coïncident dans un triangle isocèle en A, mais le critère qui définit chacune reste différent.
Formule de la médiane et théorème de Pythagore. Pythagore exige un triangle rectangle et relie ses trois côtés. La formule d’Apollonius vaut pour tout triangle euclidien et introduit la longueur d’une médiane.
Limites et pièges
Mauvais côté opposé. La médiane AA’ est associée au côté BC. Si l’on soustrait AB² ou AC² dans la formule isolée, le calcul porte sur une autre médiane. Le bon réflexe consiste à nommer d’abord le sommet de départ et le côté opposé.
Triangle dégénéré. Quand un côté égale la somme des deux autres, les trois sommets sont alignés. La relation algébrique subsiste, mais l’objet n’est plus un triangle non dégénéré. Par exemple, avec AB = 2, AC = 2 et BC = 4, A coïncide avec le milieu de [BC] et AA’ = 0.
Erreur de coefficient. Dans la forme 2AB² + 2AC² = 4AA’² + BC², le carré du côté opposé n’est pas multiplié par 2. Un coefficient erroné se repère en testant un triangle équilatéral de côté s : sa médiane doit avoir pour longueur s√3/2.
Cadre non euclidien. L’identité repose sur la norme issue d’un produit scalaire, donc sur la loi du parallélogramme. Elle ne se transpose pas telle quelle à une distance quelconque ; il faut vérifier la structure géométrique avant de l’utiliser.
Pour aller plus loin
médiane d’un triangle — Replacer la formule dans la construction des trois médianes et dans leurs propriétés géométriques.
produit scalaire — Suivre une démonstration vectorielle fondée sur les carrés de normes et la relation de milieu.
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