GéométrieObjet géométrique · Glossaire
médiane d'un triangle
En géométrie plane, la médiane d'un triangle est un segment joignant un sommet de ce triangle au milieu du côté opposé. Chaque triangle possède ainsi trois médianes, une par sommet. Une propriété fondamentale stipule que ces trois médianes sont concourantes en un point unique appelé centre de gravité (ou centroïde) du triangle. Ce point partage chaque médiane dans un rapport de 2 pour 1 à partir du sommet : le centre de gravité est situé aux deux tiers de la longueur de chaque médiane en partant du sommet, et au tiers restant en partant du milieu du côté. Le triangle formé en joignant les trois milieux des côtés d'un triangle ABC est appelé triangle médial ou triangle médian. Le terme « médiane » désigne également, dans un autre contexte, un indicateur statistique de position (voir médiane d'une série statistique).
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Construire une médiane à partir d’un sommet et du milieu du côté opposé.
- Situer le centre de gravité au point de concours et au rapport 2 pour 1.
- Refaire un exemple coordonné et contrôler les trois médianes.
- Distinguer médiane, hauteur, médiatrice et médiane statistique.
En clair
Prenez un triangle et marquez le milieu de l’un de ses côtés. Reliez ce point au sommet situé en face : le segment obtenu est une médiane. En répétant le geste depuis chaque sommet, vous tracez trois médianes.
Ces trois segments se croisent toujours au même point, le centre de gravité, aussi appelé centroïde. Sur chaque médiane, ce point est plus proche du milieu du côté que du sommet : il partage le segment en deux parts contre une.
Définition
Dans un triangle non dégénéré ABC, une médiane est le segment qui joint un sommet au milieu du côté opposé. Si M est le milieu du côté [BC], alors [AM] est la médiane issue de A. Les deux autres s’obtiennent de la même manière à partir de B et de C. La longueur du segment [AM] est aussi appelée longueur de la médiane issue de A.
Les trois médianes sont concourantes : elles ont un unique point commun G, nommé centre de gravité ou centroïde du triangle. Le point G se trouve entre le sommet A et le milieu M. Il vérifie et . Ainsi, AG est deux fois plus long que GM. La même relation vaut sur chacune des deux autres médianes, toujours en partant du sommet.
Les trois milieux des côtés de ABC déterminent un autre triangle. Celui-ci porte le nom de triangle médial ou triangle médian ; il ne faut pas le réduire à l’une des trois médianes, qui sont des segments du triangle initial.
De quoi c'est fait
La construction met en jeu cinq éléments. Le triangle fournit trois sommets et, pour chacun, un côté opposé. Le milieu partage ce côté en deux segments de même longueur. La médiane relie alors ce milieu au sommet opposé. Enfin, le centre de gravité G est le point commun aux trois médianes. Le choix d’un sommet détermine donc le côté à partager, puis le milieu détermine sans ambiguïté la médiane correspondante.
Dans le triangle ABC de l’exemple, M est le milieu de [BC] et [AM] est mis en évidence. Les deux autres médianes confirment que leur intersection est unique. La forme, l’orientation et l’échelle du dessin peuvent changer : l’égalité BM = MC suffit à tracer la médiane [AM] ; pour placer G, il faut aussi vérifier que G appartient à [AM] et que AG = 2GM. Ces données définissent la construction et placent G au rapport 2 pour 1.
Un exemple, pas à pas
Considérons le triangle ABC dans un repère orthonormé. Nous allons construire la médiane issue de A, calculer sa longueur et situer le centre de gravité.
Données : A(2 ; 1), B(8 ; 1) et C(4 ; 7). Le point M désignera le milieu du côté [BC], et G le centre de gravité.
Étape 1. Les coordonnées du milieu sont les moyennes de celles de B et de C : . Le segment [AM] est donc une médiane.
Étape 2. Sa longueur vaut unités.
Étape 3. En partant de A et en parcourant les deux tiers du vecteur allant de A vers M, on obtient .
Étape 4. Les distances sont donc AG = 10/3 et GM = 5/3 unités. Leur rapport vaut 2, conformément au partage 2 pour 1 depuis le sommet.
Contrôle. Les milieux des deux autres côtés sont N(3 ; 4) et P(5 ; 1). En parcourant les deux tiers de [BN] depuis B, ou les deux tiers de [CP] depuis C, on retrouve dans les deux cas G(14/3 ; 3) : les trois médianes sont bien concourantes.
En pratique
Pour tracer une médiane sur une figure, commencez par construire ou mesurer le milieu du côté opposé, puis reliez-le au sommet. Un point placé seulement à vue d’œil ne suffit pas : l’égalité des deux demi-côtés est le critère à vérifier.
Pour localiser le centre de gravité, deux médianes suffisent : leur intersection donne G. La troisième médiane sert alors de contrôle. Si les sommets sont donnés par leurs coordonnées, le calcul des milieux remplace avantageusement une construction graphique imprécise.
Si une seule médiane est connue, sa longueur permet aussi de placer G : mesurez les deux tiers depuis le sommet. En partant du milieu du côté opposé, il faut au contraire parcourir un tiers de la médiane. Le choix dépend donc de l’extrémité disponible.
À ne pas confondre
Une médiane n’est pas nécessairement une hauteur. Toutes deux partent d’un sommet, mais la hauteur est perpendiculaire au côté opposé, tandis que la médiane atteint son milieu. Dans un triangle isocèle au sommet considéré, le pied de la hauteur et ce milieu peuvent toutefois coïncider.
Une médiane et la médiatrice du côté opposé sont en général distinctes. Elles peuvent toutefois coïncider dans un triangle isocèle lorsque la médiane est issue du sommet principal. La médiatrice passe par le milieu du côté et lui est perpendiculaire, mais elle ne passe généralement par aucun sommet. Pour identifier une médiane, il faut vérifier qu’elle passe par un sommet et le milieu du côté opposé ; pour une médiatrice, qu’elle passe par le milieu du côté et lui est perpendiculaire.
La médiane d’une série statistique appartient à un autre contexte : elle partage des données ordonnées en deux groupes. Une liste de valeurs appelle cette notion statistique ; un sommet et le milieu du côté opposé appellent la médiane géométrique.
Limites et pièges
La propriété d’un point d’intersection unique suppose un triangle non dégénéré. Si les trois sommets sont alignés, les « médianes » se trouvent sur une même droite : leur intersection peut encore se réduire à un point, mais elle peut aussi former un segment. Il faut alors signaler le cas dégénéré et l’analyser séparément au lieu d’appliquer sans réserve le théorème de concours.
Le rapport 2 pour 1 est orienté depuis le sommet. Sur une médiane [AM], écrire AG = 2GM est correct ; placer G aux deux tiers en partant de M inverse les longueurs. Le bon contrôle consiste à constater que G est plus proche de M que de A.
Dans certains triangles symétriques, une médiane peut aussi être une hauteur ou une bissectrice. Cette coïncidence ne change pas sa définition : il faut encore vérifier qu’elle joint un sommet au milieu du côté opposé, plutôt que conclure d’après l’apparence.
Un milieu estimé sur un dessin peut déplacer les trois intersections et faire croire que les médianes ne sont pas concourantes. Construisez les milieux par égalité de longueurs ou calculez leurs coordonnées ; le défaut vient alors du tracé, non de la propriété.
Pour aller plus loin
Le glossaire centre de gravité prolonge l’étude du point commun aux médianes et de son rôle dans le triangle.
La fiche médiane d’une série statistique permet de distinguer nettement le segment géométrique de l’indicateur qui partage des données ordonnées.
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