courbe de Sierpinski

Imaginez un triangle dont deux côtés perpendiculaires ont la même longueur. Tracez, depuis son angle droit, le segment qui rejoint le milieu du côté opposé : vous obtenez deux triangles de même forme et de même taille. Recommencez dans chacun d'eux. Ces subdivisions montrent le support géométrique de la courbe de Sierpinski. Pour définir la courbe continue qui remplit le triangle, il faut aussi partager l'intervalle [0, 1] et fixer récursivement l'ordre, l'orientation et les raccordements du parcours, de façon que les extrémités des morceaux voisins coïncident. La subdivision du triangle et la seule adjacence des sous-triangles ne suffisent pas à elles seules.

Dans la version triangulaire considérée ici, la courbe de Sierpinski est l'image d'une application continue et surjective de l'intervalle [0, 1] vers un triangle rectangle isocèle. À l'étape n, on partage [0, 1] en 2ⁿ sous-intervalles égaux et le triangle en 2ⁿ triangles rectangles isocèles égaux. Une convention de parcours concrète consiste à ordonner les deux morceaux de chaque triangle comme suit : le premier va du point d'entrée du triangle au point de raccordement, le second va de ce même point au point de sortie ; leurs orientations sont donc choisies pour que les deux extrémités voisines coïncident. Au départ, pour ABC rectangle en A et M milieu de [BC], on parcourt d'abord ABM de A vers M, puis ACM de M vers A. À l'étape suivante, on applique la même règle à chacun de ces deux triangles, en conservant son entrée et sa sortie : on obtient quatre morceaux dans l'ordre, avec un raccord à chaque milieu de côté opposé à l'angle droit. Cette règle se répète à chaque étape ; elle fixe ainsi l'ordre, l'orientation et le raccordement des sous-intervalles, au lieu de s'appuyer sur la seule adjacence des sous-triangles.

La médiane issue de l'angle droit relie ce sommet au milieu de l'hypoténuse, le côté opposé. Elle partage le triangle initial en deux triangles rectangles isocèles égaux. La même subdivision est ensuite appliquée à chaque triangle obtenu. Après une étape, il y a deux triangles ; après deux étapes, il y en a quatre. Une fois fixée une règle complète et compatible de parcours, les sous-intervalles emboîtés contenant un paramètre correspondent à des triangles emboîtés dont les diamètres tendent vers zéro ; leur unique point commun définit alors le point associé à ce paramètre. La continuité exige en plus la compatibilité des raccordements entre sous-intervalles voisins : la subdivision seule ne la garantit pas.

Wacław Sierpiński a étudié cette courbe en 1912. Comme son image remplit le triangle, sa dimension de Hausdorff vaut 2. Cette construction ne doit pas être assimilée au triangle de Sierpinski, aussi appelé tamis de Sierpinski.

On rencontre la courbe de Sierpinski dans une construction récursive, plutôt que dans une figure finie isolée. Quatre indices permettent d'en reconnaître le support : un triangle rectangle isocèle ; une médiane partant de l'angle droit ; deux triangles égaux créés par cette médiane ; la même opération répétée dans chacun des triangles obtenus. Ces indices identifient seulement le support subdivisé. Pour reconnaître la courbe elle-même, il faut en plus une règle récursive qui fixe l'ordre et l'orientation du parcours et rende compatibles les extrémités des sous-intervalles voisins ; la seule adjacence des sous-triangles ne suffit pas.

La grandeur la plus simple à lire est le nombre de triangles présents après chaque subdivision. Dans l'exemple choisi, le triangle initial a pour sommets A(0, 0), B(4, 0) et C(0, 4). Les trois dessins rendent visibles le passage d'un triangle à deux, puis à quatre.

1. Repérez d'abord l'angle droit et le milieu du côté opposé.
2. Suivez la médiane qui relie ces deux points.
3. Vérifiez que la même opération est appliquée à tous les triangles de l'étape précédente.

La convention d'étape doit rester explicite : l'étape 0 est le triangle initial. L'œil peut prendre un dessin très détaillé pour la fractale achevée ; le bon réflexe consiste à distinguer chaque approximation finie de la courbe limite.

On part du triangle ABC rectangle isocèle en A. Les données sont A(0, 0), B(4, 0) et C(0, 4). Le point M est le milieu de l'hypoténuse [BC].

1. Les coordonnées du milieu donnent M(2, 2). Le segment [AM] partage ABC en deux triangles rectangles isocèles égaux.

2. Dans le triangle ABM, l'angle droit est en M. Le milieu de [AB] est D(2, 0), donc la subdivision suivante ajoute [MD].

3. Dans le triangle ACM, l'angle droit est aussi en M. Le milieu de [AC] est E(0, 2), donc on ajoute [ME]. On obtient ainsi quatre triangles rectangles isocèles égaux à l'étape 2.

Le contrôle est refaisable : [AM] produit deux triangles, puis chacune des deux nouvelles médianes en partage un. Le comptage donne bien 1, puis 2, puis 4 triangles.

Pour construire une première approximation sur papier, on marque le milieu de l'hypoténuse, puis on trace la médiane issue de l'angle droit. Une règle graduée est préférable à un tracé à vue lorsque l'égalité des deux triangles doit être contrôlée.

Pour comparer deux étapes, on compte les triangles et on repère les nouvelles médianes. Le comptage est plus fiable qu'une impression de complexité visuelle, car chaque triangle de l'étape précédente doit avoir été subdivisé.

Pour parler de la courbe elle-même, on décrit le processus limite. Un dessin comportant un nombre fixé de subdivisions reste une approximation ; cette formulation est à préférer dès que l'itération s'arrête.

Le triangle de Sierpinski, ou tamis de Sierpinski. C'est une autre construction fractale de Wacław Sierpiński. Le critère qui tranche est l'objet nommé : une courbe limite issue des subdivisions décrites ici n'est pas le tamis. Ainsi, une consigne qui demande explicitement le triangle ou le tamis de Sierpinski renvoie à la notion voisine, et non à la courbe de cette fiche.

Une étape finie n'est pas la limite. Le symptôme du raccourci est un nombre fixé de subdivisions présenté comme la courbe complète. Il faut nommer ce dessin « approximation à l'étape 1 », « à l'étape 2 », ou indiquer l'étape effectivement atteinte.

Sa dimension de Hausdorff vaut 2. La courbe de Sierpinski remplit le triangle : son image a donc la même dimension de Hausdorff que cette région plane. Lui attribuer la dimension 1 au seul motif qu'elle est appelée courbe est incorrect.

La subdivision doit partir de l'angle droit. Relier un autre sommet au milieu du côté opposé ne reproduit pas la règle donnée. Il faut d'abord identifier l'angle droit, puis tracer sa médiane.

La fiche triangle de Sierpinski présente l'autre construction fractale du même auteur et fournit les repères nécessaires pour ne plus les confondre.