courbe de Hilbert

Imaginez un carré partagé en quatre petites cases. Une ligne en forme de U visite chaque case sans saut. On partage ensuite chaque case en quatre et l’on remplace chaque morceau par un U plus petit, orienté pour que la ligne reste d’un seul tenant.

En répétant ce geste sans fin, les détours deviennent toujours plus fins. La courbe limite atteint chaque point du carré, bien qu’elle soit décrite par un seul parcours continu. Cette propriété surprenante explique l’expression « courbe qui remplit l’espace ».

La courbe de Hilbert est une application continue d’un intervalle sur le carré unité [0, 1]². Elle est surjective : chaque point du carré possède au moins un paramètre qui l’atteint. Son image a donc une aire non nulle, contrairement à l’image habituelle d’une courbe mince. Sa dimension de Hausdorff vaut 2.

Sa construction procède par approximations. À l’ordre 1, une ligne brisée en U relie les quatre cellules d’une grille 2 × 2. À chaque ordre suivant, chacune des copies est réduite, tournée ou retournée, puis raccordée aux autres. Après l’ordre n, la grille compte 2ⁿ cellules par côté, soit 4ⁿ cellules. La limite de cette suite de parcours est continue et remplit le carré.

Elle appartient aux courbes de Peano, famille des applications continues qui remplissent une surface. Dans la caractérisation binaire donnée ici, le paramétrage est noté M : le départ est M(0) = (0, 0) et l’arrivée M(1) = (1, 0). Ces extrémités et cette convention d’orientation décrivent ce paramétrage précis ; une rotation ou un renversement donne un tracé géométriquement apparenté, mais change la convention.

On rencontre la courbe de Hilbert sous la forme d’un tracé anguleux inscrit dans un carré. Une grille carrée se devine derrière le dessin ; le chemin reste continu ; ses segments sont horizontaux ou verticaux ; de nombreux motifs en U se répètent à des échelles différentes ; deux cellules successives partagent un côté.

Dans un schéma mathématique, le tracé montre une approximation finie de la courbe, et non la limite elle-même. Dans un dispositif informatique, le même ordre de parcours associe une position le long d’une ligne à une cellule d’un espace à deux dimensions. Le support porte donc à la fois une organisation du carré et un ordre de visite de ses régions.

La grandeur à lire est le rang de visite de chaque cellule, depuis le départ jusqu’à l’arrivée. Ce rang dépend de l’orientation choisie pour le tracé, qui modifie la convention d’indexation. Il ne faut pas le confondre avec l’ordre récursif n de la construction.

1. Repérez le carré total et le nombre de divisions par côté. Une grille de 4 × 4 correspond à l’ordre 2, car chaque côté contient 2² cellules.

2. Identifiez le départ indiqué, puis suivez la ligne sans couper les angles. Deux rangs consécutifs doivent occuper des cellules partageant un côté.

3. Cherchez les groupes de quatre cellules. Chaque groupe reproduit un petit motif de Hilbert, parfois tourné ou retourné afin de conserver la continuité du parcours.

4. Distinguez l’approximation de la limite. L’œil voit une ligne brisée laissant des zones blanches à tout ordre fini ; seul le passage à une infinité d’itérations produit une courbe dont l’image est le carré entier.

Construisons l’approximation d’ordre 2 dans le carré unité. Les données sont : un carré de côté 1 ; quatre divisions par côté ; 16 cellules carrées ; un parcours qui joint les centres de cellules voisines par un côté.

1. On trace une grille 4 × 4. Chaque cellule a pour côté 1 ÷ 4 = 1/4.

2. On regroupe les cellules en quatre carrés de 2 × 2. Dans chacun, le chemin dessine un U réduit ; les deux U du bas et les deux U du haut sont orientés pour se raccorder.

3. Le parcours visite 4² = 16 centres exactement une fois. Il comporte donc 16 − 1 = 15 segments entre centres consécutifs.

4. Chaque segment mesure 1/4, puisque deux cellules consécutives partagent un côté. La longueur totale de cette ligne brisée est donc 15 × 1/4 = 15/4, soit 3,75.

Le contrôle est refaisable : compter 16 centres, vérifier 15 raccords et constater qu’aucun raccord diagonal n’apparaît. Une représentation de cette approximation rend également visibles les quatre motifs en U et leur orientation.

En indexation spatiale, on attribue aux cellules d’une grille le rang donné par le parcours de Hilbert. Des données repérées par plusieurs coordonnées peuvent alors être rangées selon un seul indice. Cette solution est utile lorsque la proximité entre cellules doit rester souvent visible dans l’ordre de stockage.

Pour localiser des données multidimensionnelles, on choisit un ordre de grille adapté à la précision souhaitée, puis on convertit chaque cellule en position sur le parcours. Une recherche directe par coordonnées reste préférable si l’ordre linéaire n’apporte aucun avantage au traitement.

Pour visualiser la construction, on emploie une approximation finie. L’ordre augmente jusqu’à rendre le motif assez détaillé pour l’usage visé ; prétendre dessiner la courbe limite point par point n’aurait pas de sens sur un écran de résolution finie.

Courbe de Peano. Ce nom désigne une famille de courbes continues remplissant une surface, tandis que la courbe de Hilbert en est un membre doté d’une construction récursive particulière. Un parcours remplissant un carré mais ne suivant pas le schéma en U de Hilbert relève éventuellement de la famille sans être cette courbe.

Approximation polygonale. La ligne brisée dessinée à un ordre fini visite un nombre fini de cellules et ne couvre pas tout le carré. Si des régions ouvertes restent hors du tracé, on observe une approximation ; la courbe remplissante est la limite obtenue quand l’ordre augmente indéfiniment.

Ordre fini. Même avec 4ⁿ cellules à l’ordre n, le tracé polygonal ne remplit pas le carré. Le symptôme est la présence de zones entre les segments. Il faut parler d’approximation et réserver la propriété de remplissage à la courbe limite.

Proximité non réciproque. Deux positions voisines le long du parcours correspondent à des régions proches du carré, mais deux régions proches dans le carré ne sont pas nécessairement voisines dans l’ordre linéaire. Il faut donc contrôler le voisinage spatial réel avant d’interpréter un écart d’indice.

Paramétrage non injectif. Une application continue d’un intervalle vers un carré ne peut pas associer un paramètre unique à chaque point tout en remplissant la surface. Certains points ont plusieurs antécédents. Pour retrouver un paramètre, il faut fixer une convention lorsqu’un tel choix se présente.

Orientation. Tourner ou réfléchir le motif conserve l’idée géométrique du parcours, mais change les coordonnées du départ et de l’arrivée. Pour employer la caractérisation M(0) = (0, 0) et M(1) = (1, 0), il faut garder précisément la convention binaire annoncée.

La courbe de Peano replace la construction de Hilbert dans la famille plus large des courbes continues qui remplissent une surface.

La dimension de Hausdorff précise le sens mathématique de la dimension 2 attribuée à cette courbe.

L’article La dimension fractale prolonge l’intuition d’un objet dont la complexité change avec l’échelle d’observation.