courbe du dragon

Pliez plusieurs fois une bande de papier sur elle-même, toujours de la même manière. Lorsque vous la dépliez en maintenant chaque pli à angle droit, son bord dessine une ligne brisée qui évoque un dragon. À chaque pliage supplémentaire, le motif gagne des coudes tout en conservant sa structure reconnaissable.

La courbe du dragon est la forme limite vers laquelle tendent ces lignes brisées. Deux copies réduites, chacune à l'échelle 1/√2, reconstituent la courbe entière. Malgré son nom de courbe, sa dimension fractale vaut 2 et des copies peuvent couvrir le plan sans laisser de trou.

Considérons un triangle ABC rectangle isocèle en C. Deux similitudes directes agissent sur le segment orienté de A vers B. La première envoie le couple (A, B) sur (A, C), et la seconde l'envoie sur (B, C). Chacune conserve les angles et réduit les longueurs dans le rapport 1/√2.

La courbe du dragon est l'attracteur D de ces deux transformations : elle se recompose exactement avec les deux images réduites de D. Cette relation s'écrit $D=f_1(D)\cup f_2(D)D=f\_1(D)\backslash cup\; f\_2(D)$, où f₁ et f₂ désignent les deux similitudes. L'attracteur est compact et connexe. La construction géométrique répète la même substitution sur les côtés égaux des triangles rectangles isocèles successifs.

Deux copies de rapport 1/√2 donnent la dimension fractale d, déterminée par $2(1\mathrm{/}\sqrt{2}{)}^d=12(1/\backslash sqrt\{2\})^d=1$. On obtient $d=\frac{\ln 2}{\ln (\sqrt{2})}=2d=\backslash frac\{\backslash ln\; 2\}\{\backslash ln(\backslash sqrt\{2\})\}=2$. La même courbe limite s'obtient par pliage puis dépliage à angles droits, et elle peut paver le plan de plusieurs façons.

On rencontre d'abord le dragon sur une bande de papier pliée puis entrouverte. La ligne obtenue présente des segments de même longueur à une étape donnée, des virages à angle droit et un motif qui se replie sur lui-même sans se séparer. Chaque étape ajoute des détails à plusieurs échelles.

On le rencontre aussi dans une construction géométrique fondée sur un triangle rectangle isocèle. Les deux côtés égaux portent les deux copies réduites qui composent l'étape suivante. À la limite, ce support encode à la fois l'autosimilarité de la courbe et sa capacité à participer à un pavage du plan.

Pour lire une approximation du dragon, repérez d'abord ses deux extrémités et le sens choisi entre elles. Comptez ensuite les segments : après n substitutions, leur nombre est 2ⁿ. À extrémités fixées, chaque segment mesure (1/√2)ⁿ fois la longueur initiale. Enfin, suivez les quarts de tour dans l'ordre, car leur orientation détermine la forme obtenue.

Le bon réflexe consiste à distinguer l'étape finie de la courbe limite. L'œil peut prendre la ligne brisée pour la fractale complète, mais une nouvelle substitution révèle encore des détails. Une rotation ou une symétrie change aussi l'orientation visible sans changer le principe de construction.

Partons d'un segment orienté et effectuons trois pliages successifs dans le même sens. Les données sont donc n = 3, un angle droit à chaque pli déployé et une réduction des segments par 1/√2 à chaque étape. La ligne obtenue est une approximation finie de la courbe du dragon.

1. Le nombre de segments est 2³ = 8 ; il y a donc 7 changements de direction entre eux.
2. Pour engendrer les virages, partez de « droite ». À chaque étape, prenez la suite déjà obtenue : recopiez-la, ajoutez « droite », puis ajoutez cette même suite lue à rebours en échangeant chaque droite avec une gauche. On obtient successivement : droite ; droite, droite, gauche ; puis droite, droite, gauche, droite, droite, gauche, gauche.
3. Si le segment initial a pour longueur 1, chacun des huit petits segments mesure (1/√2)³ = 1/(2√2).

La longueur totale de cette troisième approximation vaut donc 8/(2√2) = 2√2. Pour contrôler la construction, on recompte huit segments égaux et sept angles droits, puis on vérifie la suite des virages dans l'ordre. La figure matérialise ce contrôle sans prétendre montrer la courbe limite.

Avec une bande de papier, le pliage donne une construction matérielle immédiate. On choisit cette approche pour observer la succession des quarts de tour ; pour obtenir beaucoup d'étapes sans épaissir ni déformer le papier, une construction géométrique est préférable.

Sur papier quadrillé ou dans un dessin numérique, on reporte la suite des virages et on remplace chaque segment par deux segments réduits. Cette méthode convient lorsqu'il faut contrôler exactement le nombre d'étapes, les longueurs et l'orientation.

Pour étudier un pavage, on travaille avec des copies complètes de la courbe et non avec une seule approximation grossière. Le critère à observer est l'assemblage sans trou du plan ; la source précise que plusieurs agencements sont possibles.

Il ne faut pas confondre la suite des plis marqués sur une bande fermée avec la courbe dessinée après dépliage. Les plis fournissent les changements de direction ; la courbe apparaît seulement lorsqu'on ouvre chaque pli à angle droit.

Il faut aussi distinguer une courbe du dragon d'un pavage réalisé avec ses copies. Une courbe est l'objet fractal compact et connexe ; le pavage est un agencement de copies couvrant le plan. Une copie isolée et un plan entièrement couvert tranchent immédiatement les deux situations.

Après un nombre fini de pliages ou de substitutions, on n'obtient qu'une ligne polygonale. Le symptôme est simple : le dessin possède encore un nombre fini de segments, exactement 2ⁿ après n étapes. Il faut parler d'approximation et réserver le nom d'attracteur à la forme limite.

La valeur 2 est une dimension fractale calculée à partir de deux similitudes de rapport 1/√2. Elle ne vient ni du nombre de coordonnées du dessin ni d'un comptage visuel des virages. Pour la retrouver, il faut utiliser ensemble le nombre de copies et leur rapport de réduction.

Enfin, la propriété de pavage n'autorise pas n'importe quel placement. Elle affirme qu'il existe plusieurs façons d'agencer des copies pour couvrir le plan. Si un assemblage laisse des trous ou crée des recouvrements indésirables, il faut changer l'agencement, pas conclure que toute disposition convient.

Une première piste consiste à dessiner plusieurs approximations successives et à comparer, à extrémités fixées, le nombre de segments, leur longueur et la suite des quarts de tour. On voit alors comment deux copies réduites reconstituent chaque nouvelle étape.

On peut ensuite reprendre l'équation de dimension : deux copies au rapport 1/√2 conduisent à la valeur 2. Enfin, comparer plusieurs pavages obtenus avec la même courbe permet de séparer ce qui appartient à l'objet fractal de ce qui dépend de l'agencement choisi.