GéométrieNotion · Glossaire
Heighway John
La courbe du dragon, associée au physicien John Heighway, est une fractale construite en pliant plusieurs fois une bande de papier en deux dans le même sens, puis en rouvrant chaque pli à angle droit. En réduisant les segments d’un facteur 1/√2 à chaque étape et en alignant les extrémités, la suite tend vers une courbe limite auto-similaire dont la dimension de Hausdorff est égale à 2.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier John Heighway et son lien avec la NASA dans les années 1960.
- Reconstituer les trois premières étapes de la courbe du dragon à partir des virages.
- Distinguer les tracés finis de la courbe fractale limite.
- Interpréter avec prudence la dimension de Hausdorff égale à 2.
En clair
Dans les années 1960, à la NASA, le physicien américain John Heighway travaille sur une courbe que l'on peut faire apparaître avec une bande de papier. On la plie plusieurs fois en deux, toujours dans le même sens. En rouvrant ensuite chaque pli à angle droit, les plis dictent une succession de virages.
Le tracé obtenu ressemble de moins en moins à une simple ligne brisée. À chaque nouvelle étape, il reprend sa structure à une échelle plus fine : c'est la courbe du dragon, aussi appelée dragon de Heighway.
Définition
John Heighway est le physicien américain associé à l'étude et à la popularisation, dans les années 1960 à la NASA, de la courbe du dragon. Son nom désigne donc une personne ; les expressions « courbe de Heighway », « dragon de Heighway » et « courbe fractale du dragon » désignent la courbe qui l'a rendu connu.
La construction part d'une bande pliée en deux plusieurs fois, toujours dans le même sens. Après dépliage, chaque pli est ouvert à angle droit. La suite des plis impose alors les virages d'une ligne brisée. Répéter le procédé augmente le nombre de segments et fait apparaître une structure auto-similaire : certaines parties reproduisent l'organisation de l'ensemble à une autre échelle.
La courbe de Heighway est l'objet limite obtenu lorsque le nombre d'itérations tend vers l'infini, après avoir réduit les segments d'un facteur 1/√2 à chaque étape et aligné les extrémités. Sa dimension de Hausdorff vaut exactement 2. Cette valeur concerne la courbe limite ; elle ne décrit pas l'épaisseur d'une ligne brisée obtenue après un nombre fini de pliages.
Un exemple, pas à pas
Prenons trois pliages successifs dans le même sens. Les données sont : trois plis, une ouverture de chaque pli à 90°, un départ vers la droite et des segments de même longueur. On choisit le côté du premier pli et la convention d'ouverture de sorte que le premier virage soit à droite. On note D un virage à droite et G un virage à gauche.
1. Après un pliage, la suite comporte un seul virage : D.
2. Après deux pliages, la suite devient D, D, G. Elle commande quatre segments.
3. Après trois pliages, on obtient D, D, G, D, D, G, G. Les sept virages commandent huit segments : chaque nouveau pliage a doublé leur nombre.
Le contrôle est immédiat : trois pliages donnent 23 = 8 segments et donc 8 − 1 = 7 virages. En suivant la suite depuis un segment horizontal, le tracé forme déjà le motif anguleux caractéristique du dragon.
En pratique
Avec une bande de papier, le pliage matérialise la suite des virages. Cette approche est préférable à un tracé calculé lorsque l'on veut voir d'où vient la règle : chaque pli devient un angle droit au dépliage.
Pour obtenir beaucoup d'itérations, on construit plutôt la ligne brisée étape après étape. Le tracé devient préférable au papier dès que les plis sont trop nombreux pour rester nettement séparés.
Pour étudier la forme limite, on compare plusieurs étapes successives. Une seule étape montre une ligne brisée ; la comparaison révèle la répétition à différentes échelles et prépare l'étude de l'auto-similarité et de la dimension de Hausdorff.
À ne pas confondre
John Heighway et la courbe de Heighway. Le premier nomme le physicien ; la seconde nomme l'objet mathématique. Une phrase qui attribue un travail à la NASA parle de la personne, tandis qu'une phrase sur des segments, des angles droits ou une dimension parle de la courbe.
Limites et pièges
Le cas charnière est le passage du fini à l'infini. Après n pliages, où n est un entier fini, le tracé compte 2n segments. Il reste une ligne brisée finie. C'est en réduisant les segments d'un facteur 1/√2 à chaque étape et en alignant les extrémités que cette suite définit une courbe limite. La dimension de Hausdorff égale à 2 concerne cette limite, pas l'une des étapes finies.
Dimension 2 ne signifie pas « trait épais ». Le symptôme du contresens est d'attribuer une surface à chacun des segments dessinés. Il faut distinguer le tracé fini, composé de segments, de l'ensemble limite, dont la dimension de Hausdorff vaut 2. Cette dimension ne suffit pas, à elle seule, à établir une aire positive ni la présence d'un intérieur.
Le sens des plis doit rester constant. Si un pliage est effectué dans l'autre sens, la suite de virages change et le tracé ne suit plus la construction décrite. Il faut reprendre une convention unique avant de comparer deux étapes.
Pour aller plus loin
La fiche courbe du dragon recentre l'étude sur l'objet mathématique associé à John Heighway et sur sa construction.
La dimension de Hausdorff donne le cadre précis pour interpréter la valeur 2 attribuée à la courbe limite.
La notion d'auto-similaire précise en quel sens une structure peut se retrouver à plusieurs échelles.
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