courbe de Polya

Imaginez une feuille que l'on plie plusieurs fois, alternativement dans un sens puis dans l'autre. Quand on la déplie en remplaçant chaque pli par un angle droit, le profil obtenu devient de plus en plus proche d'une courbe de Pólya. Le dessin paraît fait de segments, mais il remplit progressivement une région du plan.

Cette forme vient aussi de deux copies réduites et retournées d'un même segment. Elles sont placées dans un triangle isocèle rectangle, puis le procédé est répété. La courbe est donc à la fois un tracé que l'on peut construire par pliage et un objet fractal décrit par des transformations géométriques.

La courbe de Pólya est l'attracteur plan de deux similitudes indirectes associées à un triangle ABC isocèle rectangle en C. Une similitude est une transformation qui conserve les angles et multiplie les longueurs par un rapport constant ; elle est indirecte lorsqu'elle inverse l'orientation. Ici, la première est définie par A↦C et B↦A : elle envoie le segment (A, B) sur (C, A). La seconde est définie par A↦C et B↦B : elle envoie (A, B) sur (C, B). Ces correspondances d'extrémités fixent les deux similitudes canoniques.

Le rapport de chacune des deux transformations est $r=\frac{1}{\sqrt{2}}r=\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\}$. Pour ces similitudes canoniques, les deux copies de la région formée par le triangle ABC et son symétrique par rapport à (AC) ont des intérieurs disjoints et ne se rencontrent que sur leur frontière. Dans cette condition de séparation, l'attracteur est l'ensemble compact et connexe vers lequel conduisent les itérations, et il coïncide avec cette région pleine. Sa dimension fractale se calcule alors avec deux copies de rapport r : $D=\frac{\ln 2}{\ln \sqrt{2}}=2D=\backslash frac\{\backslash ln\; 2\}\{\backslash ln\; \backslash sqrt\{2\}\}=2$.

La construction par pliage donne une approximation finie, à l'étape n. Elle ne doit donc pas être confondue avec la description limite de l'attracteur : augmenter n affine le profil obtenu, sans transformer le pliage matériel en définition indépendante de la construction géométrique. La figure associée situe le triangle et son symétrique, qui matérialisent la région pleine décrite par la source.

On rencontre la courbe de Pólya sur une feuille pliée puis dépliée, dans un dessin de géométrie fractale ou dans l'étude d'un attracteur plan. Sans calcul, plusieurs indices la signalent : le tracé est constitué de segments et d'angles droits, les plis alternent de sens, deux copies retournées interviennent dans la construction, et un triangle isocèle rectangle sert de cadre.

Le support ne porte pas seulement une ligne. À l'étape n, il porte un profil polygonal qui approxime la courbe ; dans la description par transformations, l'objet porte l'ensemble limite produit par les deux similitudes indirectes.

Pour lire une construction, on distingue d'abord le profil obtenu après un nombre fini n de plis et l'attracteur décrit par l'itération sans fin. On repère ensuite le triangle ABC, rectangle et isocèle en C, puis les deux copies retournées du segment initial. Enfin, on vérifie le rapport de réduction $r=\frac{1}{\sqrt{2}}r=\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\}$ et le nombre de copies, égal à 2.

La grandeur à situer est la dimension fractale, et non la longueur du contour visible à une étape donnée. Pour l'IFS canonique décrit plus haut, dont les deux copies ont des intérieurs disjoints et ne se rencontrent que sur leur frontière, la condition de séparation permet d'utiliser l'équation de similitude : $2r^D=12r^D=1$. En remplaçant r par 1/√2, on obtient D = 2. L'œil peut croire que le tracé reste une simple ligne ; le bon réflexe consiste à considérer la répétition des deux copies et la région limite qu'elles engendrent.

Prenons un triangle ABC isocèle rectangle en C, avec AC et CB de même longueur. Pour lever toute ambiguïté, la première similitude indirecte vérifie A↦C et B↦A, tandis que la seconde vérifie A↦C et B↦B. Elles envoient ainsi le segment initial (A, B), de longueur la diagonale du triangle, sur les côtés (C, A) et (C, B).

Données : deux copies ; rapport de chaque copie, $r=\frac{1}{\sqrt{2}}r=\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\}$ ; nombre d'itérations de l'exemple, n ; dimension recherchée, D.

1. La règle de similitude donne $2r^D=12r^D=1$.
2. En prenant les logarithmes, on obtient $D=\frac{\ln 2}{\ln (1\mathrm{/}r)}D=\backslash frac\{\backslash ln\; 2\}\{\backslash ln(1/r)\}$.
3. Comme $1\mathrm{/}r=\sqrt{2}1/r=\backslash sqrt\{2\}$, il vient $D=\frac{\ln 2}{\ln \sqrt{2}}=2D=\backslash frac\{\backslash ln\; 2\}\{\backslash ln\backslash sqrt\{2\}\}=2$.

Le résultat est une dimension fractale égale à 2. Le contrôle refaisable consiste à constater que $(\sqrt{2}{)}^2=2(\backslash sqrt\{2\})^2=2$ : le dénominateur vérifie donc $\ln \sqrt{2}=\frac{1}{2}\ln 2\backslash ln\backslash sqrt\{2\}=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash ln\; 2$, ce qui donne bien D = 2.

Pour obtenir une approximation matérielle, on plie une feuille n fois, alternativement dans un sens puis dans l'autre. Après dépliage, chaque pli est remplacé par un angle droit afin de tracer le profil polygonal.

Pour analyser un dessin, on compte les niveaux de pliage et on distingue les deux directions de pli. Une construction géométrique est préférable lorsque l'objectif est de vérifier exactement les similitudes et leur rapport ; le pliage est préférable lorsque l'on veut rendre visible l'approximation par étapes.

Pour situer la dimension, on utilise les deux copies et leur rapport de réduction, pas une mesure approximative du contour sur la feuille. Cette vérification relie le geste de pliage à la description mathématique de l'attracteur.

Profil plié et attracteur. Le profil obtenu après n plis est une approximation finie ; l'attracteur est l'ensemble limite défini par l'itération des deux similitudes. Si n est fixé, on observe le premier ; si l'on décrit la limite, on parle du second.

Courbe et simple segment. Le segment initial sert de donnée aux transformations, mais la courbe de Pólya est produite par les deux copies retournées et leurs itérations. Un segment isolé ne porte ni cette construction ni sa dimension 2.

Similitude directe et similitude indirecte. Les deux transformations de la définition sont indirectes : elles inversent l'orientation. Une transformation qui conserve les longueurs à la même échelle mais ne retourne pas l'orientation ne correspond pas à la paire décrite ici.

Un nombre fini de plis ne donne pas la courbe limite. À l'étape n, le profil est polygonal et approximatif. Le symptôme est un tracé qui dépend visiblement du nombre de plis ; il faut alors préciser l'étape n au lieu d'annoncer l'attracteur exact.

Le rapport 1/√2 est une condition charnière de cette construction. Il vient du triangle isocèle rectangle et des deux côtés images du segment initial, avec les correspondances d'extrémités des similitudes canoniques. Même avec ce rapport et deux copies, la dimension ne découle pas de ces seules données : il faut aussi conserver ces transformations et leur condition de séparation, sans recouvrement supplémentaire. Les modifier peut changer l'attracteur et sa dimension ; on ne peut donc pas conserver automatiquement D = 2.

La dimension 2 ne signifie pas que le contour est une surface. Elle caractérise ici l'attracteur, qui coïncide avec une région pleine formée du triangle et de son symétrique par rapport à (AC). Un dessin de feuille pliée peut seulement en donner une approximation visuelle.

La fiche attracteur aide à formaliser l'ensemble vers lequel conduisent les itérations d'un système de transformations.

L'article La dimension fractale approfondit le rôle de la dimension 2 et les méthodes qui permettent de la calculer.

L'article Des constructions à foison ouvre sur d'autres constructions géométriques obtenues par pliage et répétition.