courbe de Peano

Imaginez un carré partagé en neuf petites cases. Un trait continu visite les neuf cases ; dans chacune, le même trajet est ensuite reproduit à une échelle plus fine. Un dessin obtenu après un nombre fini d'étapes laisse encore des espaces. La courbe de Peano est l'objet limite : à force de raffiner le trajet, elle atteint chaque point du carré.

Un nombre compris entre 0 et 1 joue le rôle d'un curseur. À chaque position du curseur correspond un point du carré, et le point se déplace sans saut.

Une courbe de Peano est une application continue et surjective d'un intervalle sur un carré. Notons f cette application et t le paramètre réel parcourant l'intervalle unité. La définition s'écrit : $f:[0,1]⟶[0,1{]}^{2}f:[0,1]\backslash longrightarrow[0,1]^2$. La continuité signifie qu'une petite variation de t ne provoque pas de saut du point f(t). La surjectivité signifie que, pour tout point du carré, au moins une valeur de t possède ce point pour image.

La construction procède par approximations de plus en plus fines. Le carré unité est découpé en neuf sous-carrés de côté 1/3, qu'un trajet continu visite dans un ordre déterminé. Le motif est répété à l'intérieur de chaque sous-carré, avec des orientations compatibles pour raccorder le trajet. Seule la limite continue de ces raffinements remplit tout le carré ; aucun tracé polygonal fini ne le fait.

La courbe est dite remplissante parce que son image est le carré entier. Elle n'est pas injective : plusieurs valeurs du paramètre peuvent représenter le même point. Cette propriété explique pourquoi elle a obligé les mathématiciens à distinguer le paramétrage d'une courbe, son image et les différentes notions de dimension.

On rencontre la courbe de Peano dans les dessins de fractales et dans les exemples de topologie. Le support est un carré, souvent quadrillé en 3 × 3, puis en grilles de plus en plus fines. Le tracé reste d'un seul tenant, traverse chaque petite case et reproduit un motif à plusieurs échelles. Un début et une fin indiquent l'ordre suivi par le paramètre entre 0 et 1.

Ce dessin porte deux informations différentes : la position dans le carré et l'ordre dans lequel les positions sont parcourues. Les approximations rendent cet ordre visible ; la propriété de remplissage appartient à leur limite, pas à l'image finie affichée.

La grandeur à suivre est l'échelle de subdivision. La convention de départ est le carré unité, avec un paramètre allant de 0 à 1.

1. Repérez la grille : au premier raffinement, chaque côté est divisé en trois et le carré contient neuf cases.

2. Suivez le trait depuis t = 0 jusqu'à t = 1. Le sens du parcours donne un ordre aux cases ; il ne donne pas des coordonnées cartésiennes au paramètre.

3. Comparez deux raffinements. Chaque case est remplacée par neuf cases plus petites et le raccord entre motifs doit rester continu.

L'œil peut croire qu'un trait mince visible remplit déjà la surface. Le bon réflexe consiste à vérifier le niveau : un dessin fini ne fait que visiter toutes les cases de sa grille ; seule la courbe limite atteint chaque point.

Prenons le premier raffinement du carré unité. Les données sont trois divisions par côté, neuf sous-carrés de côté 1/3 et un trajet continu passant par leurs centres. Les trois centres successifs de chaque colonne sont situés aux coordonnées 1/6, 1/2 et 5/6.

1. Le trajet part du centre inférieur gauche (1/6, 1/6), remonte la première colonne, redescend la deuxième, puis remonte la troisième. Il visite ainsi une fois chacune des neuf cases.

2. Après un second raffinement, chacune des neuf cases en contient neuf autres. Le dessin compte alors 9 × 9 = 81 petites cases, chacune de côté 1/9. Le schéma illustre le niveau précédent afin que l'ordre du parcours reste lisible.

3. Pour un niveau entier n, le nombre de cases et leur côté sont : $N_n=9^n,c_n=3^{-n}N\_n=9^n,\backslash qquad\; c\_n=3^\{-n\}$. Par exemple, au niveau 2, on retrouve exactement 81 cases et un côté égal à 1/9.

4. Le contrôle consiste à multiplier le nombre de cases sur un côté : 3ⁿ × 3ⁿ = 9ⁿ. Quand n augmente, le côté 3⁻ⁿ tend vers 0. Cela vérifie le raffinement de la grille, mais la surjectivité appartient à la courbe limite, non à une étape finie.

En topologie, la courbe de Peano fournit un contre-exemple à l'idée qu'une image continue d'un intervalle doit rester une ligne sans épaisseur. Si la question porte seulement sur l'existence d'un antécédent pour chaque point, le vocabulaire adapté est celui de la surjection.

Pour visualiser la construction, on affiche une approximation finie et son niveau de grille. Cette représentation est préférable à une zone entièrement coloriée lorsqu'il faut conserver l'ordre du parcours ; la zone coloriée masque le paramétrage.

Pour raisonner sur l'objet exact, on revient à la fonction continue et surjective. Le dessin sert à suivre les raffinements, tandis que la définition permet de conclure que chaque point du carré est effectivement atteint.

Avec une surjection quelconque. Une courbe de Peano est bien surjective sur le carré, mais elle impose aussi la continuité et prend un intervalle pour domaine. Une correspondance qui atteint tous les points en sautant de l'un à l'autre est surjective sans être une courbe de Peano.

Avec le graphe d'une fonction réelle. Le graphe de y = g(x) associe une seule hauteur à chaque abscisse. L'image d'une courbe de Peano est au contraire le carré entier : pour une même abscisse, elle contient toutes les hauteurs de 0 à 1.

Avec une courbe simple. Une courbe simple ne repasse pas par un même point, sauf éventuellement pour fermer ses extrémités. Une application continue qui remplit un carré ne peut pas être injective ; la courbe de Peano possède donc des points atteints pour plusieurs valeurs du paramètre.

Une approximation n'est pas la courbe. À tout niveau fini, le tracé polygonal laisse des points du carré hors de son image. Le symptôme est une grille encore visible entre les segments. Il faut réserver « remplit le carré » à l'objet limite.

« Sans jamais se recouper » est trompeur. La surjectivité garantit au moins un paramètre par point, pas un paramètre unique. Une courbe continue et injective issue de [0, 1] ne peut pas avoir le carré entier pour image. Il faut donc parler d'un parcours continu qui atteint chaque point, avec des répétitions possibles.

Le paramètre reste unidimensionnel. Le domaine est toujours l'intervalle [0, 1], même si l'image est le carré. Confondre domaine et image fait disparaître précisément le phénomène remarquable. Il faut toujours préciser de quel ensemble on décrit la dimension.

Visiter chaque case ne suffit pas. Aux niveaux 1 et 2, le trajet rencontre respectivement 9 et 81 cases, mais ce comptage ne prouve pas à lui seul la continuité ni la surjectivité de la limite. Les raccords entre motifs et le passage à la limite doivent aussi être établis.

Trois notions prolongent directement la distinction entre paramètre, image et dimension.

La fiche surjection précise ce que signifie atteindre chaque point du carré sans exiger un antécédent unique.

La fiche fractale déterministe replace les raffinements successifs dans le cadre des constructions gouvernées par une règle.

La fiche Dimension topologique aide à distinguer la dimension de l'intervalle paramètre de celle de l'image remplie.