Dimension topologique

Prenez un fil droit, puis courbez-le en demi-cercle sans le couper ni coller deux de ses points. Sa forme et sa place dans le plan ont changé, mais il reste un objet à une dimension : près de chaque point ordinaire, on ne peut avancer que dans deux directions le long du fil.

La dimension topologique retient cette organisation des voisinages, pas les longueurs, les angles ou la courbure. Une déformation continue réversible, appelée homéomorphisme, la conserve.

La dimension topologique associe à un espace topologique non vide un entier naturel, ou parfois l'infini, qui ne change pas sous homéomorphisme. Par convention, la dimension de l'espace vide vaut −1. Elle décrit combien de directions indépendantes sont nécessaires localement, sans utiliser de distance. Ainsi, un segment a dimension topologique 1, qu'il soit droit ou courbé dans le plan.

La dimension de recouvrement d'un espace X est au plus n si tout recouvrement ouvert de X admet un raffinement ouvert dans lequel aucun point n'appartient à plus de n + 1 ensembles. La petite dimension inductive, notée ind, se définit récursivement à partir des frontières de voisinages. La grande dimension inductive, notée Ind, utilise de façon analogue la séparation de sous-ensembles fermés. Ces définitions ne coïncident pas dans tous les espaces. Pour un espace métrisable séparable X, le théorème classique d'égalité des dimensions donne $\mathrm{ind}X=\mathrm{Ind}X=\dim X\backslash operatorname\{ind\}X=\backslash operatorname\{Ind\}X=\backslash dim\; X$, où dim désigne la dimension de recouvrement.

Dans le cadre métrisable séparable, la dimension 0 se reconnaît par une base d'ouverts qui sont aussi fermés. Elle entraîne que les composantes connexes sont réduites à un point. La réciproque, souvent résumée trop vite par « totalement discontinu implique dimension 0 », demande des hypothèses supplémentaires et n'est pas vraie pour tout espace métrique.

On compare le segment fermé I = [0, 1] et le demi-cercle supérieur S de rayon 1. Le paramètre t parcourt I, et chaque valeur de t doit correspondre à un seul point de S.

La correspondance utilisée est $f(t)=(\cos (\pi t),\sin (\pi t)),0\le t\le 1f(t)=(\backslash cos(\backslash pi\; t),\backslash sin(\backslash pi\; t)),\backslash quad\; 0\backslash le\; t\backslash le\; 1$.

1. À t = 0, on obtient l'extrémité (1, 0).
2. À t = 1/2, on obtient le sommet (0, 1).
3. À t = 1, on obtient l'autre extrémité (−1, 0).
4. Quand t augmente, le point parcourt S une seule fois et sans saut.
5. La fonction f est continue et bijective. Comme I est compact et S est contenu dans le plan, son inverse est aussi continue : f est un homéomorphisme.

Le segment I ayant dimension topologique 1, l'invariance par homéomorphisme impose dim S = 1. Pour contrôler le raisonnement, il suffit de vérifier les trois valeurs remarquables et qu'aucun point du demi-cercle n'est parcouru deux fois. La représentation met en regard les mêmes paramètres sur les deux objets.

Pour comparer deux espaces après une déformation continue réversible, on commence par leur dimension topologique. Des dimensions différentes excluent immédiatement un homéomorphisme ; des dimensions égales ne suffisent toutefois pas à le garantir.

Pour étudier un sous-ensemble dessiné dans un espace de grande dimension, on distingue sa dimension propre de celle du décor. Un arc dans le plan reste de dimension topologique 1, même si ses points sont repérés par deux coordonnées.

Pour un espace métrisable séparable décrit par des ouverts, la dimension de recouvrement est souvent la porte d'entrée : on cherche des raffinements où peu d'ouverts se chevauchent. Si la question porte plutôt sur l'échelle ou la rugosité d'un ensemble fractal, une dimension métrique, telle la dimension de Hausdorff, répond à un autre besoin.

Dimension topologique et dimension de Hausdorff. La première est un entier ou l'infini et résiste aux homéomorphismes. La seconde dépend d'une métrique et peut être non entière. Sur un ensemble fractal, elles peuvent donc donner deux valeurs différentes sans contradiction.

Dimension propre et dimension de l'espace ambiant. Un demi-cercle est placé dans le plan, de dimension 2, mais il est lui-même de dimension topologique 1. Le test consiste à étudier l'espace considéré, pas le nombre de coordonnées utilisées pour le dessiner.

Dimension topologique et dimension vectorielle. La dimension vectorielle compte les éléments d'une base d'un espace vectoriel. La dimension topologique s'applique à un espace muni d'ouverts, même sans addition ni multiplication par un scalaire.

Les trois définitions ne coïncident pas sans hypothèses. L'égalité entre petite dimension inductive, grande dimension inductive et dimension de recouvrement est garantie ici pour les espaces métrisables séparables. Hors de ce cadre, il faut annoncer la variante utilisée au lieu d'écrire seulement « dimension ».

Totalement discontinu n'est pas toujours synonyme de dimension 0. La dimension 0 force les composantes connexes à être des points dans le cadre usuel, mais la réciproque échoue en général. Il faut rechercher une base d'ensembles à la fois ouverts et fermés, ou ajouter des hypothèses adaptées, par exemple la locale compacité dans un cadre métrisable.

Un entier global ne décrit pas chaque point de la même façon. Un espace peut réunir des morceaux de dimensions locales différentes. Connaître sa dimension maximale n'autorise donc pas à affirmer que tout voisinage de tout point a exactement cette dimension.

L'égalité de dimension ne classe pas les espaces. Le segment et le cercle ont tous deux dimension topologique 1, mais retirer un point ne produit pas le même comportement de connexité. La dimension fournit un invariant utile, pas un test complet d'homéomorphisme.

Homéomorphisme. Ce lien précise la transformation continue réversible sous laquelle la dimension topologique reste inchangée.

Recouvrement. Cette notion fournit le vocabulaire nécessaire pour lire la définition par raffinements et chevauchements d'ouverts.

dimension de Hausdorff. Cette autre dimension mesure l'effet de l'échelle et permet de situer précisément la différence avec l'invariant topologique.