GéométrieNotion · Glossaire
Paracompact
Un espace topologique est paracompact si tout recouvrement ouvert admet un raffinement localement fini, c'est-à-dire un recouvrement ouvert plus fin tel que tout point possède un voisinage ne rencontrant qu'un nombre fini d'ouverts du raffinement. Tout espace métrique est paracompact. La paracompacité est une propriété plus faible que la compacité ; dans le cadre usuel des espaces paracompacts séparés, elle permet de construire des partitions de l'unité, outil essentiel en géométrie différentielle.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir un raffinement ouvert localement fini.
- Vérifier la propriété sur un recouvrement explicite de la droite réelle.
- Distinguer paracompacité, compacité et finitude ponctuelle.
- Relier la paracompacité aux partitions de l'unité.
En clair
Imaginez une carte entièrement couverte par des zones ouvertes, parfois si nombreuses qu'elles s'accumulent autour d'un même lieu. On peut remplacer ces zones par de plus petites zones, chacune restant contenue dans une zone initiale.
L'espace est paracompact lorsque ce remplacement peut toujours être choisi sans encombrement local infini : autour de chaque point, un petit voisinage ne croise qu'un nombre fini de nouvelles zones. Le nombre total de zones peut pourtant rester infini.
Définition
La paracompacité est une propriété d'un espace topologique. Un recouvrement ouvert est une famille d'ouverts dont la réunion contient tous les points de l'espace. Un raffinement ouvert remplace cette famille par un autre recouvrement ouvert dont chaque membre est contenu dans au moins un ouvert initial.
Notons X l'espace, 𝒰 le recouvrement initial et 𝒱 son raffinement. La famille 𝒱 est localement finie si, pour chaque point x de X, il existe un voisinage Nx de x qui ne rencontre qu'un ensemble fini de membres de 𝒱. Les deux critères s'écrivent :
Un espace est paracompact lorsque tout recouvrement ouvert possède un tel raffinement.
Tout espace métrique est paracompact, même s'il n'est pas compact. La propriété autorise donc des recouvrements infinis tout en maîtrisant leur comportement près de chaque point. Dans le cadre usuel de la géométrie différentielle, où les espaces considérés sont notamment séparés, cette maîtrise locale rend possibles les partitions de l'unité.
Un exemple, pas à pas
Considérons la droite réelle ℝ et le recouvrement formé des intervalles ouverts Un = (−n, n), pour tout entier n au moins égal à 1. Ce recouvrement n'est pas localement fini : un point donné appartient à tous les intervalles assez grands.
Données.
W0 = (−2, 2).
Pour chaque entier n ≥ 1, Wn+ = (n, n + 2) et Wn− = (−n − 2, −n).
W0 = (−2, 2).
Pour chaque entier n ≥ 1, Wn+ = (n, n + 2) et Wn− = (−n − 2, −n).
1. Ces intervalles W couvrent ℝ : W0 couvre le centre, puis les intervalles positifs et négatifs se chevauchent jusqu'à l'infini.
2. Chaque W est contenu dans un Un assez grand. La famille des W est donc un raffinement du recouvrement initial. Autour de x = 4,5, le voisinage (4,25 ; 4,75) ne rencontre que W3+ et W4+.
3. Le même contrôle fonctionne autour de tout réel : seuls les intervalles W proches du point peuvent rencontrer un voisinage assez petit. Le raffinement est donc localement fini. Pour refaire le contrôle, choisissez un réel et comptez les intervalles W qui coupent un voisinage de rayon inférieur à 0,5.
En pratique
Dans un espace métrique, il n'est pas nécessaire de fabriquer un raffinement pour prouver la paracompacité : le théorème « tout espace métrique est paracompact » donne directement la propriété. Une construction explicite reste utile lorsque l'on veut contrôler les ouverts obtenus.
En géométrie différentielle, on part souvent de données définies sur plusieurs ouverts. Un raffinement localement fini évite qu'une infinité de contributions locales interviennent simultanément près d'un point ; c'est le cadre qui permet de les assembler avec une partition de l'unité.
Si un recouvrement admet déjà un sous-recouvrement fini, celui-ci est automatiquement localement fini et suffit. Lorsque aucun choix fini n'est disponible, la paracompacité fournit l'alternative pertinente : conserver éventuellement une infinité d'ouverts, mais en limiter les rencontres dans chaque voisinage.
À ne pas confondre
Paracompact et compact. Un espace compact permet d'extraire un sous-recouvrement fini de tout recouvrement ouvert. Un espace paracompact demande seulement un raffinement localement fini. La droite réelle ℝ tranche : elle est métrique, donc paracompacte, mais son recouvrement par les intervalles (−n, n) n'admet aucun sous-recouvrement fini.
Localement fini et ponctuellement fini. Dire que chaque point appartient à un nombre fini d'ouverts est plus faible. La finitude locale exige un voisinage entier ne rencontrant qu'un nombre fini d'ouverts ; elle contrôle donc aussi les ouverts qui s'approchent du point sans le contenir.
Limites et pièges
Le recouvrement donné n'a pas à être localement fini. Dans l'exemple de ℝ, les intervalles Un s'accumulent autour de chaque point. Il faut chercher une autre famille ouverte qui raffine ce recouvrement, et non conclure que l'espace échoue au test.
Un simple découpage ne suffit pas. Les ensembles plus petits doivent encore être ouverts, couvrir tout l'espace et rester chacun dans un ouvert initial. Si des points ne sont plus couverts, la famille obtenue n'est pas un raffinement admissible.
Le mot « voisinage » est décisif. Compter seulement les ouverts qui contiennent x ne prouve pas la finitude locale. Il faut exhiber un voisinage de x ne rencontrant que finitement de membres du raffinement.
Les conventions doivent être vérifiées. Certains textes incluent la séparation de Hausdorff dans le mot « paracompact », d'autres l'énoncent à part. Pour appliquer un théorème sur les partitions de l'unité, il faut reprendre les hypothèses exactes du cadre utilisé.
Pour aller plus loin
La fiche compacité - topologie - précise la propriété plus forte qui remplace un recouvrement par un nombre fini d'ouverts.
La fiche Partition de l'unité développe l'outil que la paracompacité permet de construire pour assembler des données locales.
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