Logique et ensemblesNotion · Glossaire
Localement fini (recouvrement)
Un recouvrement d'un espace topologique est dit localement fini si tout point de l'espace possède un voisinage qui ne rencontre qu'un nombre fini d'ensembles du recouvrement. Cette notion est importante dans la définition des espaces paracompacts : un espace de Hausdorff est paracompact si tout recouvrement ouvert admet un raffinement ouvert et localement fini. Les recouvrements localement finis permettent de définir des partitions de l'unité et jouent un rôle fondamental en géométrie différentielle.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Formuler le critère exact à l'aide d'un voisinage et d'un nombre fini d'intersections.
- Vérifier la propriété sur un recouvrement infini d'intervalles de la droite réelle.
- Distinguer finitude locale, finitude globale, finitude ponctuelle et famille discrète.
- Relier les raffinements localement finis à la paracompacité et aux partitions de l'unité.
En clair
Imaginez une droite couverte par une suite infinie d'intervalles. Autour d'un point choisi, une petite fenêtre ne laisse pourtant apparaître que deux ou trois de ces intervalles. Le recouvrement est alors localement fini : la famille peut être infinie dans son ensemble, mais elle reste finie à l'échelle de chaque point.
Il ne suffit pas de compter les ensembles qui contiennent exactement le point. Il faut trouver tout un voisinage qui n'en rencontre qu'un nombre fini.
Définition
Soit un espace topologique X et une famille d'ensembles (Ui) dont la réunion contient X : cette famille est un recouvrement de X. L'indice i parcourt un ensemble d'indices I. Le recouvrement est localement fini lorsque, pour chaque point x de X, il existe un voisinage V de x qui ne rencontre que finitement de membres de la famille.
En notant par ∅ l'ensemble vide et par # le nombre d'éléments d'un ensemble, le critère complet s'écrit : . Les ensembles Ui ne doivent pas nécessairement être ouverts pour définir la finitude locale. Dans le contexte de la paracompacité, on part en revanche d'un recouvrement ouvert et l'on cherche un raffinement ouvert et localement fini, c'est-à-dire un nouveau recouvrement ouvert dont chaque ensemble est contenu dans un ensemble du recouvrement initial.
Un recouvrement fini est automatiquement localement fini, mais la réciproque est fausse. La propriété impose une finitude près de chaque point, pas un nombre fini d'ensembles sur tout l'espace.
Un exemple, pas à pas
Sur la droite réelle ℝ, prenons, pour chaque entier n, l'intervalle ouvert Un = (n − 1, n + 1). Ces intervalles couvrent ℝ. Étudions le point x = 2,3 avec le voisinage V = (2,05 ; 2,55).
1. U2 = (1 ; 3) rencontre V, car leurs points communs forment l'intervalle (2,05 ; 2,55).
2. U3 = (2 ; 4) rencontre V pour la même raison. En revanche, U1 = (0 ; 2) s'arrête avant 2,05 et U4 = (3 ; 5) commence après 2,55.
3. Le voisinage V rencontre donc exactement deux intervalles de la famille : U2 et U3. La figure matérialise cette vérification locale sur une portion de la droite.
Le contrôle vaut pour tout réel x : le voisinage (x − 0,25 ; x + 0,25) ne peut rencontrer que les Un dont l'entier n vérifie x − 1,25 < n < x + 1,25. Il y en a au plus trois. Le recouvrement infini (Un) est donc localement fini.
En pratique
Pour tester un recouvrement, on fixe un point puis on cherche un voisinage assez petit. Le bon critère consiste à compter les ensembles qui rencontrent ce voisinage, et non ceux qui contiennent seulement le point.
Face à un recouvrement ouvert quelconque, on cherche souvent un raffinement localement fini. Si aucun voisinage ne coupe la famille en une sous-famille finie, ce raffinement est préférable pour construire des objets locaux que l'on veut assembler.
Dans une partition de l'unité, chaque fonction n'est active que sur une certaine région. La finitude locale garantit qu'autour de chaque point, seule une somme finie de fonctions intervient ; les opérations locales restent ainsi bien définies.
À ne pas confondre
Recouvrement fini. Il comporte un nombre fini d'ensembles au total, donc il est localement fini. La famille Un = (n − 1, n + 1), indexée par tous les entiers, tranche la différence : elle est infinie mais localement finie.
Recouvrement ponctuellement fini. Chaque point appartient alors à un nombre fini d'ensembles. Ce test est plus faible : le recouvrement de ℝ par tous ses singletons est ponctuellement fini, tandis que chaque voisinage rencontre une infinité de singletons. Il n'est donc pas localement fini.
Famille discrète. Un voisinage doit rencontrer au plus un membre d'une famille discrète, contre un nombre fini quelconque pour une famille localement finie. Les intervalles Un de l'exemple se chevauchent : ils forment une famille localement finie, mais pas discrète.
Limites et pièges
Accumulation en un point. Dans l'espace X = (−1 ; 1), les intervalles Vn = (−1/n ; 1/n), pour les entiers n ≥ 1, couvrent X mais ne sont pas localement finis en 0. Tout voisinage de 0 rencontre tous les Vn. Il faut donc examiner les points d'accumulation, même si les ensembles rétrécissent.
Vérification au seul point. Constater qu'un point appartient à peu d'ensembles ne suffit pas. Le symptôme d'échec est la présence d'une infinité d'ensembles arbitrairement proches du point ; il faut produire un voisinage entier qui n'en rencontre qu'un nombre fini.
Convention sur la paracompacité. La source adopte la convention où un espace paracompact est de Hausdorff et où tout recouvrement ouvert admet un raffinement localement fini. Certains ouvrages séparent l'hypothèse de Hausdorff ; il faut vérifier leur convention avant de réutiliser un théorème.
Pour aller plus loin
Recouvrement. Revenir à la notion de famille couvrante permet d'identifier précisément l'objet auquel s'applique la finitude locale.
Paracompact. Ce prolongement montre pourquoi l'existence de raffinements localement finis devient une propriété structurante d'un espace topologique.
Partition de l'unité. Cette notion explique comment des données locales se combinent grâce à des sommes qui restent finies près de chaque point.
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