espace localement compact

Plaçons un point sur une droite et regardons seulement une petite zone autour de lui. Autour du point 2, l’intervalle fermé [1, 3] forme une portion bornée qui contient aussi un petit intervalle ouvert autour de 2. Cette zone est compacte : même si on la couvre par une multitude d’ouverts, un nombre fini d’entre eux suffit toujours.

La droite entière s’étend pourtant sans fin. Être localement compact signifie précisément que chaque point dispose d’un tel refuge compact, sans imposer que l’espace tout entier soit compact.

Soit X un espace topologique. Un voisinage d’un point x est une partie de X qui contient un ouvert contenant x. L’espace X est localement compact lorsque chaque point x possède au moins un voisinage compact K. Dire que K est compact signifie que, de tout recouvrement de K par des ouverts de X, on peut extraire un sous-recouvrement fini.

Dans le cadre usuel des espaces séparés, cette propriété se reformule ainsi : chaque point possède une base de voisinages compacts. Autrement dit, pour tout voisinage U de x, il existe un voisinage compact K de x contenu dans U. Sans hypothèse de séparation, les ouvrages n’emploient pas tous la même définition et ces formulations ne sont pas automatiquement interchangeables.

Tout espace compact est localement compact, car l’espace entier est un voisinage compact de chacun de ses points. La réciproque est fausse : les espaces euclidiens ℝⁿ sont localement compacts, mais ne sont pas compacts lorsque la dimension n est positive. Les groupes de Lie et les corps locaux, notamment ℚ_p, fournissent d’autres exemples importants.

Quatre éléments portent la définition. L’espace X fournit les points et ses ouverts. Le point x fixe l’endroit où l’on raisonne. Le voisinage K contient un ouvert autour de x : il n’a donc pas besoin d’être lui-même ouvert. Enfin, la compacité de K garantit que tout recouvrement ouvert de K se réduit à un nombre fini d’ouverts.

La topologie détermine à la fois quels ensembles entourent x et quels recouvrements doivent être testés. Le voisinage relie ensuite l’information locale au point, tandis que sa compacité apporte le contrôle fini. Ce sont ces relations, et non une distance, une forme ou une taille dessinée, qui définissent la structure. Les données suffisent pour vérifier la propriété point par point et pour construire des arguments locaux à support compact.

Prenons la droite réelle ℝ avec sa topologie usuelle. Données : le point x = 2 ; l’intervalle K = [1, 3] ; l’intérieur de K est ]1, 3[.

1. L’intervalle ]1, 3[ contient 2 et est contenu dans K. Ainsi, K est bien un voisinage du point 2.

2. L’intervalle fermé borné [1, 3] est compact dans ℝ, d’après le théorème de Borel-Lebesgue. Le même choix translaté, [x − 1, x + 1], fonctionne autour de tout réel x.

Le schéma matérialise les deux relations à contrôler : 2 appartient à l’intervalle ouvert ]1, 3[, lui-même contenu dans le voisinage compact [1, 3].

3. Couvrons ℝ par les intervalles ouverts ]−n, n[, où n parcourt les entiers positifs. Toute famille finie reste contenue dans ]−N, N[ pour un certain entier N ; elle ne couvre donc pas toute la droite.

Résultat : ℝ est localement compact, puisque chaque x possède le voisinage compact [x − 1, x + 1], mais ℝ n’est pas compact. Ce second recouvrement fournit un contrôle direct de la différence entre propriété locale et propriété globale.

Dans un espace euclidien, on travaille autour d’un point dans un voisinage fermé et borné, plutôt que sur tout ℝⁿ. Ce choix donne accès à la compacité sans prétendre contrôler l’espace globalement.

Sur un groupe topologique localement compact séparé, la propriété permet de définir une mesure de Haar. Elle est préférée lorsqu’on veut mesurer les ensembles d’une manière compatible avec les translations du groupe.

En intégration de Radon et en analyse harmonique, les voisinages compacts offrent des zones sur lesquelles les arguments restent contrôlables. On les emploie quand la compacité de tout l’espace serait trop exigeante ou simplement fausse.

Espace compact. La compacité porte alors sur l’espace entier ; la compacité locale ne demande qu’un voisinage compact autour de chaque point. La droite réelle tranche : elle est localement compacte, mais le recouvrement par les ouverts ]−n, n[ n’admet aucun sous-recouvrement fini.

Support compact. Cette expression qualifie l’ensemble où une fonction ne s’annule pas, après prise de son adhérence, et non l’espace ambiant. Une fonction peut avoir un support compact dans ℝ alors que ℝ lui-même n’est pas compact.

Définitions variables. Sans hypothèse de séparation, « posséder un voisinage compact » et « posséder une base de voisinages compacts » peuvent désigner des exigences différentes. Il faut vérifier la convention adoptée avant d’utiliser leur équivalence.

Voisinage ne signifie pas ouvert. Dans l’exemple, [1, 3] est un voisinage de 2 parce qu’il contient l’ouvert ]1, 3[. Exiger que le voisinage compact soit lui-même ouvert modifierait inutilement le test.

Le local ne devient pas global. Trouver [x − 1, x + 1] autour de chaque réel x ne fournit aucun recouvrement fini de toute la droite. Pour conclure à la compacité globale, il faut tester les recouvrements de l’espace entier.

Dimension zéro. L’espace euclidien ℝ⁰ ne suit pas le contre-exemple des dimensions positives : il ne contient qu’un point et est compact. La formule « ℝⁿ n’est pas compact » exige donc n > 0.

Le voisinage précise ce que signifie « autour d’un point » en topologie ; cette notion aide à relire la définition sans supposer l’existence d’une distance.

Le recouvrement donne le langage du test de compacité, tandis que le théorème de Borel-Lebesgue explique pourquoi les intervalles fermés bornés de ℝ sont compacts.

La mesure de Haar montre ce que la compacité locale rend possible sur les groupes : construire une mesure compatible avec leurs translations.

L’analyse harmonique prolonge cette idée en étudiant fonctions et fréquences sur des espaces dont la structure locale reste suffisamment contrôlée.