GéométrieUnité de mesure · Glossaire
mesure de Haar
La mesure de Haar d'un groupe topologique localement compact G est une mesure positive m définie sur la tribu des boréliens de G, invariante par les translations à gauche : pour tout borélien B et tout élément g de G, on a m(gB) = m(B). Une telle mesure existe pour tout groupe localement compact et elle est unique à un facteur multiplicatif strictement positif près. Lorsque le groupe est commutatif ou compact, la mesure de Haar est également invariante par translations à droite.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les hypothèses et l'invariance qui définissent une mesure de Haar.
- Vérifier l'invariance sur le groupe cyclique à six éléments.
- Comprendre pourquoi une normalisation est nécessaire pour fixer l'échelle.
- Distinguer invariance à gauche, invariance à droite et mesure de probabilité.
En clair
Imaginez six positions disposées en boucle. Deux positions choisies occupent la même part de la boucle, qu'on les décale de deux crans ou de quatre. La mesure de Haar traduit cette idée : déplacer un ensemble par l'opération du groupe ne change pas sa taille.
Cette « taille » peut être une longueur, une masse normalisée ou un comptage, selon le groupe. Elle ne privilégie donc aucun emplacement. En revanche, son échelle n'est pas imposée : multiplier toutes les mesures par un même nombre positif conserve la propriété.
Définition
On considère un groupe topologique localement compact, noté G. Sa loi de groupe et sa topologie sont compatibles, et ses boréliens sont les ensembles construits à partir des ouverts par les opérations usuelles de tribu. Dans le cadre standard du théorème de Haar, une mesure de Haar est une mesure de Radon positive et non nulle, notée m : elle est borélienne, régulière et finie sur les compacts.
Pour un élément g de G et un borélien B, le translaté à gauche gB rassemble les produits gb lorsque b parcourt B. L'invariance à gauche s'écrit . Ainsi, la mesure attribuée à B ne dépend pas de l'endroit où une translation à gauche le place dans le groupe.
Une telle mesure existe sur tout groupe localement compact. Elle est unique à multiplication par une constante strictement positive près : si m convient, alors cm convient pour tout nombre c strictement positif. Dans un groupe commutatif ou compact, cette mesure est aussi invariante par les translations à droite. Le côté de la translation doit donc rester explicite dans le cas général.
Où on le rencontre
La mesure de Haar apparaît lorsqu'un même espace porte à la fois une topologie et une opération de groupe. Quatre marqueurs permettent de reconnaître ce cadre : des éléments que l'on peut multiplier, une notion d'ouverts, la compacité locale et des ensembles boréliens à mesurer. Une translation à gauche agit alors en multipliant tous les éléments d'un ensemble par un même élément du groupe.
La mesure porte une information de taille compatible avec cette symétrie. Sur le groupe cyclique fini de l'exemple, les éléments sont des positions en boucle et la translation est un décalage modulo 6.
Le mode d'emploi
La grandeur à lire est la taille m(B) d'un borélien B, comparée à celle de ses translatés. 1. Identifiez le groupe G et le côté de l'action. 2. Formez gB en appliquant le même élément g à tous les points de B. 3. Comparez m(gB) et m(B). 4. Vérifiez la normalisation choisie avant de comparer des valeurs provenant de deux mesures de Haar.
L'erreur de lecture fréquente consiste à croire que la mesure donne une échelle numérique canonique. L'invariance fixe les rapports de taille, mais l'unicité à un facteur positif près laisse l'échelle libre. Sur un groupe compact, la convention m(G) = 1 fournit souvent une normalisation pratique ; elle doit être annoncée, jamais supposée.
Un exemple, pas à pas
Prenons le groupe cyclique G formé des six restes 0, 1, 2, 3, 4 et 5, avec l'addition modulo 6 et la topologie discrète. Toutes ses parties sont boréliennes. Pour toute partie A, on normalise le comptage en posant . Les données sont B = {0, 1} et l'élément de translation g = 2.
1. Le translaté ajoute 2 à chaque élément : .
2. L'ensemble B contient deux éléments, donc .
3. Le translaté contient lui aussi deux éléments, donc .
4. Les deux valeurs sont égales : la translation n'a changé que les positions choisies.
2. L'ensemble B contient deux éléments, donc .
3. Le translaté contient lui aussi deux éléments, donc .
4. Les deux valeurs sont égales : la translation n'a changé que les positions choisies.
Le résultat est une proportion sans unité, égale à 1/3 du groupe. Pour contrôler le calcul, on translate encore de deux crans : {2, 3} devient {4, 5}, qui contient toujours deux éléments sur six. La figure matérialise ce déplacement sans modifier le nombre de points sélectionnés.
En pratique
Sur un groupe discret fini, on compte les éléments. Le comptage normalisé est préférable au comptage brut lorsque l'on veut lire chaque sous-ensemble comme une proportion du groupe.
Sur un groupe compact, on choisit souvent la normalisation m(G) = 1. Elle est adaptée lorsqu'on veut moyenner sur tout le groupe ; une autre échelle reste possible si le total doit porter une valeur imposée.
Pour comparer un borélien à une copie translatée, la mesure de Haar remplace une mesure qui dépendrait de la position. Le critère décisif est l'égalité des mesures après toute translation du côté retenu.
À ne pas confondre
Mesure de Haar et mesure signée. Une mesure de Haar est positive et non nulle, tandis qu'une mesure signée peut attribuer des valeurs négatives. Si un ensemble reçoit une masse négative, il ne s'agit pas d'une mesure de Haar.
Mesure de Haar et mesure de probabilité. Une mesure de Haar devient une probabilité lorsque sa masse totale vaut 1. Dans l'exemple fini, m(G) = 1 ; sans cette normalisation, l'invariance seule ne suffit pas à parler de probabilité.
Mesure de Haar et ondelette de Haar. La première mesure des boréliens d'un groupe avec invariance par translation. La seconde est une fonction utilisée dans une construction d'ondelettes : la nature de l'objet tranche immédiatement.
Limites et pièges
Échelle non fixée. Deux mesures de Haar peuvent donner des nombres différents au même ensemble tout en étant toutes deux valides. Le symptôme est un rapport constant entre toutes les valeurs ; il faut alors annoncer une normalisation avant toute comparaison numérique.
Mesure nulle. La mesure identiquement nulle est bien positive et invariante, mais elle détruirait l'énoncé d'unicité. La convention de Haar exige donc une mesure non nulle ; dans l'exemple, le cas charnière m(G) = 1 l'établit immédiatement.
Gauche et droite. L'invariance à gauche ne doit pas être changée silencieusement en invariance à droite. La source garantit les deux côtés lorsque le groupe est commutatif ou compact ; hors de ces cas, il faut vérifier séparément le côté utilisé.
Cadre du théorème. L'existence et l'unicité invoquées reposent sur le cadre localement compact et sur la convention usuelle d'une mesure de Radon. Si ces hypothèses manquent, une simple mesure borélienne invariante ne permet pas d'appliquer automatiquement le théorème de Haar.
Pour aller plus loin
Le groupe topologique précise la compatibilité entre opération et topologie sur laquelle repose la définition.
La translation éclaire l'opération qui déplace un ensemble sans modifier sa mesure de Haar.
La mesure signée aide à situer précisément le rôle de la positivité dans la notion de mesure.
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