théorème de Steinhaus

Prenez un ensemble de points qui occupe une longueur réelle sur la droite, même s’il est morcelé. Soustrayez deux à deux les positions de ses points. Le théorème de Steinhaus garantit que toutes les petites différences autour de zéro apparaissent : aucun petit écart ne manque.

Ainsi, un ensemble peut avoir des trous et pourtant produire une plage continue de différences. C’est la mesure positive, et non la présence d’un intervalle visible dans l’ensemble de départ, qui force cette régularité près de zéro.

Le théorème de Steinhaus est un résultat de théorie de la mesure. Soit A un ensemble mesurable de ℝⁿ, de mesure de Lebesgue strictement positive. L’ensemble des différences A − A rassemble tous les vecteurs obtenus en soustrayant deux points de A. Il contient un voisinage de l’origine : il existe donc un rayon r strictement positif tel que toute différence de norme inférieure à r appartienne à A − A.

Sur la droite réelle, cela signifie que A − A contient un intervalle ouvert centré en zéro. La conclusion ne prétend pas que A est lui-même un intervalle. Elle révèle une régularité additive créée par la mesure positive.

Pour deux ensembles mesurables A et B de mesure positive, la conclusion correcte est que A − B possède un intérieur non vide ; cet intérieur n’est pas nécessairement situé autour de zéro. Dans un groupe topologique localement compact muni d’une mesure de Haar, l’analogue de A − A est le produit A A⁻¹, qui contient un voisinage de l’élément neutre.

Si A est un sous-ensemble mesurable de ℝⁿ et si sa mesure de Lebesgue est strictement positive, alors l’ensemble A − A contient un voisinage ouvert de l’origine. Avec la norme euclidienne, l’énoncé peut s’écrire :

Le rayon r dépend de A ; le théorème en garantit l’existence sans fournir une valeur universelle.

Dans ℝⁿ, il faut un ensemble A mesurable au sens de Lebesgue et de mesure strictement positive. La conclusion porte sur A − A et assure l’existence d’un voisinage de l’origine ; elle ne fixe ni sa forme maximale ni son rayon. Pour deux ensembles mesurables distincts A et B, tous deux de mesure strictement positive, on obtient seulement que A − B a un intérieur non vide.

La positivité est indispensable pour appliquer le théorème sous cette forme, mais elle n’est pas nécessaire à sa conclusion en général. L’ensemble des rationnels de [0, 1] est mesurable et de mesure nulle. Sa différence avec lui-même ne contient que des rationnels de [−1, 1] : aucun intervalle autour de zéro n’y est inclus. Le théorème ne permet donc aucune conclusion dans ce contre-cas.

Considérons sur la droite l’ensemble A formé des deux intervalles fermés [0, 1] et [3, 4]. Il est mesurable et sa longueur totale vaut 2. Le schéma met en regard cet ensemble morcelé et les trois intervalles obtenus dans A − A.

1. En soustrayant deux points pris dans le même intervalle, toutes les différences de −1 à 1 sont obtenues. Les deux composantes de A donnent ici le même intervalle [−1, 1].

2. Un point de [0, 1] moins un point de [3, 4] donne toutes les valeurs de −4 à −2. L’ordre inverse donne toutes les valeurs de 2 à 4.

3. En réunissant les trois résultats, on obtient :

L’intervalle ouvert (−1, 1) est donc un voisinage de zéro contenu dans A − A. Le contrôle est direct : pour tout nombre h de cet intervalle, les points 0 et −h conviennent si h est négatif, tandis que h et 0 conviennent si h est positif.

Pour montrer qu’un ensemble mesurable est de mesure nulle, on peut raisonner par contraposée. Si son ensemble de différences ne contient aucun voisinage de zéro, l’ensemble de départ ne peut pas avoir une mesure positive.

Pour étudier les écarts réalisables entre points d’un ensemble, le théorème évite de décrire chaque paire. Une mesure positive suffit à certifier qu’une plage entière de petits vecteurs est réalisable, même lorsque l’ensemble est très morcelé.

Dans un groupe topologique localement compact, on remplace la soustraction par le produit avec l’inverse et la mesure de Lebesgue par une mesure de Haar. Le bon critère observable reste l’apparition d’un voisinage de l’élément neutre.

Le théorème de Banach-Steinhaus porte sur des familles d’opérateurs linéaires continus et l’uniforme bornitude. Le théorème présenté ici porte sur la mesure positive et les différences de points. La présence d’opérateurs ou, au contraire, d’un ensemble A − A tranche entre les deux résultats.

La différence symétrique A △ B conserve les points appartenant à un seul des deux ensembles. La différence additive A − B soustrait leurs éléments. Avec A = [0, 1], la première opération A △ A donne l’ensemble vide, tandis que A − A donne [−1, 1].

Mesure nulle. La seule mesurabilité ne suffit pas. Si la mesure vaut 0, A − A peut ne contenir aucun intervalle ; les rationnels de [0, 1] en donnent un exemple. Il faut vérifier la stricte positivité avant d’appliquer le théorème.

Deux ensembles différents. Pour A = [10, 11] et B = [0, 1], les deux mesures sont positives, mais A − B = [9, 11], qui ne contient pas zéro. La conclusion valide est l’existence d’un intérieur non vide, pas d’un voisinage de l’origine.

Taille du voisinage. Le théorème affirme qu’un rayon strictement positif existe, sans donner de borne commune à tous les ensembles de mesure positive. Il faut exploiter la forme particulière de A pour calculer un intervalle précis, comme dans l’exemple [−1, 1].

Ensemble de départ morcelé. La conclusion ne rend pas A ouvert et ne lui impose pas de contenir un intervalle. C’est l’ensemble A − A qui possède un voisinage de zéro ; il faut éviter de transférer cette régularité à A lui-même.

La fiche mesure de Lebesgue précise la notion de taille qui porte l’hypothèse de stricte positivité.

La fiche Groupe topologique présente le cadre où l’addition et la topologie restent compatibles.

La fiche mesure de Haar décrit la mesure invariante qui étend le résultat aux groupes localement compacts.