AlgèbreObjet mathématique · Glossaire
Groupe topologique
Un groupe topologique est un groupe G muni d'une topologie telle que les deux opérations de groupe (la multiplication et le passage à l'inverse) sont des applications continues. Cette structure combine algèbre et topologie de manière cohérente. Les exemples fondamentaux incluent les groupes de Lie (comme GL(n, R), SO(n), SU(n)) et les groupes abéliens localement compacts (comme R, Z, le tore T). La théorie des groupes topologiques est à la base de l'analyse harmonique abstraite et de la théorie des représentations.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les structures et les deux conditions de continuité d’un groupe topologique.
- Composer et inverser des rotations du cercle modulo 360°.
- Distinguer groupe topologique, groupe abstrait, espace topologique et groupe de Lie.
- Repérer les conventions et pièges liés à la topologie, à la séparation et aux quotients.
En clair
Imaginez un bouton que l’on tourne sur un cercle. Enchaîner une rotation de 60° puis une rotation de 90° revient à effectuer une rotation de 150°. Revenir en arrière demande la rotation opposée, ici −60°.
Ces rotations forment un groupe topologique lorsque deux exigences cohabitent. Les rotations se composent comme les éléments d’un groupe, et une petite variation des rotations choisies produit une petite variation du résultat ou de leur inverse. La topologie donne précisément un sens à cette idée de proximité.
Définition
Un groupe topologique est un ensemble G qui porte simultanément une loi de groupe et une topologie. La loi associe à deux éléments x et y leur produit xy. La topologie décrit les voisinages et permet de définir la continuité. Ces deux structures sont compatibles lorsque l’application de multiplication, qui envoie le couple (x, y) sur xy, est continue pour la topologie produit sur G × G, et lorsque l’application qui envoie x sur son inverse x−1 est continue.
La droite réelle ℝ munie de l’addition et de sa topologie usuelle en est un exemple : additionner deux réels et changer leur signe sont des opérations continues. Les entiers ℤ, avec leur topologie discrète, en donnent un autre. Le cercle T, vu comme les angles modulo 2π, est un groupe abélien topologique. Les groupes de matrices GL(n, ℝ), SO(n) et SU(n) fournissent des exemples non discrets, et certains ne sont pas commutatifs.
Les groupes de Lie ajoutent une structure de variété lisse à cette compatibilité. Les groupes abéliens localement compacts constituent un autre cadre central, notamment pour l’analyse harmonique abstraite et la théorie des représentations.
De quoi c'est fait
Quatre ingrédients structurent l’objet. L’ensemble G fournit les éléments. La multiplication combine deux éléments, avec un élément neutre et un inverse pour chacun. La topologie fixe les ensembles ouverts, donc la notion de voisinage. Enfin, la topologie produit sur G × G permet de tester conjointement les deux entrées de la multiplication.
La loi ne suffit pas : une même structure de groupe peut recevoir plusieurs topologies. La topologie ne suffit pas davantage : ses ouverts doivent rendre continues la multiplication et l’inversion. Ces données permettent de parler à la fois de sous-groupes ouverts ou fermés, de convergence et de symétries continues. Un dessin du groupe, une métrique particulière ou des coordonnées peuvent aider, mais ne font pas partie des données exigées par la définition.
Un exemple, pas à pas
Prenons le cercle T des angles modulo 360°. Les données sont deux rotations : α = 60° et β = 90°. La loi est l’addition des angles, avec réduction modulo 360°. L’élément neutre est la rotation de 0°.
1. On compose α puis β en additionnant leurs angles.
2. On obtient α + β = 60° + 90° = 150°.
3. L’inverse de α porte l’angle −60°, soit 300° modulo 360°.
4. Le contrôle donne α + (−α) = 60° + 300° = 360°, donc 0° modulo 360°.
2. On obtient α + β = 60° + 90° = 150°.
3. L’inverse de α porte l’angle −60°, soit 300° modulo 360°.
4. Le contrôle donne α + (−α) = 60° + 300° = 360°, donc 0° modulo 360°.
Une légère modification de 60° ou de 90° modifie légèrement la rotation composée et la rotation inverse. La figure matérialise ces trois positions sur un même cercle. Elle rend visible la compatibilité entre la loi de groupe et la proximité des angles.
En pratique
Pour étudier des rotations ou des matrices qui varient continûment, on conserve ensemble leur composition et leur proximité. Un groupe abstrait suffit si seule la table de composition compte ; le groupe topologique devient pertinent dès que la convergence ou la continuité intervient.
En analyse harmonique, on décompose des fonctions définies sur des groupes abéliens localement compacts. Sur ℝ ou sur le cercle T, la structure topologique permet de formuler l’intégration et la transformée de Fourier ; un groupe discret convient plutôt lorsque chaque élément doit rester isolé.
Dans l’étude des symétries continues, les représentations traduisent les éléments du groupe par des transformations linéaires. Un groupe de Lie est préférable lorsque les paramètres possèdent aussi une structure lisse ; un groupe topologique général suffit si seule la continuité est requise.
À ne pas confondre
Groupe abstrait. Il possède une loi, un neutre et des inverses, mais aucune notion imposée de proximité. Si parler de suites convergentes ou d’opérations continues n’a pas de sens, la structure donnée n’est pas encore celle d’un groupe topologique.
Espace topologique. Il possède des ouverts et une notion de continuité, sans nécessairement avoir de loi de groupe. Un cercle considéré seulement comme espace topologique n’inclut pas encore la composition des rotations.
Groupe de Lie. Il s’agit d’un groupe topologique doté en plus d’une structure de variété lisse compatible avec les opérations. Un groupe discret non dénombrable est topologique, mais il n’est pas un groupe de Lie au sens usuel, car son espace n’a pas de base dénombrable.
Limites et pièges
Continuité séparée. Vérifier la continuité en x pour y fixé, puis en y pour x fixé, ne prouve pas en général la continuité conjointe de la multiplication sur G × G. Il faut tester l’application des deux variables avec la topologie produit.
Topologie oubliée. Le nom du groupe ne détermine pas toujours sa topologie. Par exemple, ℝ peut recevoir sa topologie usuelle ou la topologie discrète, et les deux donnent des groupes topologiques très différents. Il faut donc préciser la topologie employée.
Convention de séparation. Certaines définitions exigent qu’un groupe topologique soit séparé, c’est-à-dire hausdorff, tandis que d’autres ne l’incluent pas dans le terme. Avant d’utiliser un résultat, il faut vérifier cette convention et ajouter l’hypothèse de séparation si elle est nécessaire.
Sous-groupes et quotients. Un sous-groupe reçoit naturellement la topologie induite. Pour quotienter par un sous-groupe normal, on utilise la topologie quotient ; si l’on veut un quotient hausdorff d’un groupe hausdorff, la fermeture du sous-groupe normal devient décisive. Un sous-groupe ouvert est aussi fermé, mais un sous-groupe fermé n’est pas forcément ouvert.
Pour aller plus loin
Le groupe de Lie ajoute la différentiabilité à la continuité et éclaire les symétries paramétrées par des coordonnées.
L’analyse harmonique montre comment la structure d’un groupe porte l’étude des fréquences et des représentations.
La Transformée de Fourier fournit un prolongement concret sur ℝ et relie une fonction à son contenu fréquentiel.
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