analyse harmonique

Imaginez un signal périodique dont la courbe mélange une hauteur constante, une oscillation lente et une autre deux fois plus rapide. L’analyse harmonique cherche les composantes simples qui, additionnées, reconstruisent ce signal. Elle ne se limite pas aux courbes tracées sur une droite : le support peut posséder des symétries organisées par un groupe. Les composantes pertinentes reflètent alors ces symétries, comme les notes d’un accord révèlent sa structure sonore.

L’analyse harmonique étudie des fonctions définies sur un groupe topologique et cherche à les décrire à l’aide de composantes élémentaires adaptées aux symétries de ce groupe. Le groupe, noté $GG$, indique à la fois le support des fonctions et la manière de composer les transformations. Dans le cadre usuel des groupes localement compacts, une mesure invariante permet de définir les intégrales nécessaires.

Lorsque le groupe est commutatif, les composantes élémentaires sont des caractères : des fonctions complexes qui transforment l’opération du groupe en multiplication. Sur le cercle, elles correspondent aux oscillations de fréquences entières et conduisent aux séries de Fourier. Sur la droite réelle, elles conduisent à la transformée de Fourier. Lorsque le groupe n’est pas commutatif, de simples fréquences scalaires ne suffisent plus : la décomposition fait intervenir des représentations unitaires irréductibles, c’est-à-dire des actions du groupe par transformations linéaires préservant les longueurs et ne possédant pas de sous-espace invariant non trivial. La forme précise de la décomposition et de la reconstruction dépend du groupe et de la classe de fonctions considérée.

Considérons un signal périodique en fonction du temps angulaire $tt$, mesuré en radians.
Données : une composante constante de valeur 2 ; une oscillation cosinus d’amplitude 3 et de fréquence angulaire 1 ; une oscillation sinus d’amplitude 1 et de fréquence angulaire 2.

1. On écrit la somme des trois composantes :

2. La moyenne du signal sur une période vaut exactement 2, car les moyennes du cosinus et du sinus sur cette période sont nulles.
3. La décomposition fait apparaître une amplitude 3 à la fréquence angulaire 1 et une amplitude 1 à la fréquence angulaire 2.
4. Pour contrôler la reconstruction au temps $t=0t=0$, on obtient $f(0)=2+3\times 1+0=5f(0)=2+3\backslash times\; 1+0=5$.

Le spectre trigonométrique associé sépare donc clairement les coefficients 2, 3 et 1. En les replaçant devant les mêmes fonctions constante, cosinus et sinus, on retrouve le signal initial en tout temps.

Pour un signal périodique, on recherche les oscillations entières qui le composent, comme dans l’exemple. Une série de Fourier convient lorsque le motif se répète ; pour un signal non périodique sur la droite, on préfère une transformée de Fourier.

Pour une fonction définie sur un cercle, une sphère ou un autre espace muni de symétries, on choisit des composantes compatibles avec ces symétries. La structure de symétries du support, ou l’action d’un groupe sur celui-ci, détermine alors la famille d’harmoniques à employer.

Lorsque les transformations ne commutent pas, une liste de fréquences ordinaires perd une partie de l’information. On utilise alors les représentations du groupe, dont les coefficients encodent plusieurs directions d’action à la fois.

Analyse harmonique et analyse de Fourier. L’analyse de Fourier traite les décompositions sur des supports classiques comme la droite ou le cercle. L’analyse harmonique englobe ce cas et l’étend à d’autres groupes : la nature du support tranche.

Analyse harmonique et fonction harmonique. Une fonction harmonique satisfait une équation faisant intervenir le laplacien, tandis que l’analyse harmonique est un domaine de décomposition et de représentation. Une fonction peut donc être étudiée par analyse harmonique sans être elle-même harmonique.

Composante harmonique et représentation. Pour un signal périodique ordinaire, une harmonique correspond à une fréquence multiple de la fréquence fondamentale. Sur un groupe non commutatif, l’objet élémentaire peut être matriciel ou opératoriel ; chercher seulement un multiple entier ne suffit pas.

Un groupe topologique quelconque ne garantit pas le cadre intégral habituel. Sans hypothèse telle que la compacité locale, la mesure invariante utilisée dans la théorie classique peut manquer. Il faut alors préciser le cadre fonctionnel au lieu d’appliquer automatiquement les formules de Fourier.

Une décomposition ne signifie pas toujours une somme ponctuelle. Selon le groupe et la fonction, le spectre peut être continu et la reconstruction prendre la forme d’une intégrale. Il faut annoncer le sens de la convergence, par exemple en moyenne quadratique, avant d’affirmer une égalité en chaque point.

Le cas non commutatif n’a pas un spectre scalaire ordinaire. Les composantes peuvent être des matrices ou des opérateurs. Le symptôme du piège est une unique liste de nombres censée décrire toutes les symétries ; il faut conserver les représentations et leur multiplicité.

Une fréquence d’amplitude nulle est absente du signal. Dans l’exemple, si le coefficient 1 de $\sin (2t)\backslash sin(2t)$ est remplacé par 0, la fréquence angulaire 2 ne contribue plus. Il faut distinguer une composante autorisée par la base d’une composante effectivement présente.

analyse de Fourier présente le cas classique où les fonctions sont décomposées en oscillations sur la droite ou sur un domaine périodique.

La Transformée de Fourier approfondit le passage d’un signal sur la droite à sa description fréquentielle continue.