analyse de Fourier

Imaginez un son dont la période fondamentale est de 20 millisecondes. Sa courbe peut sembler compliquée, mais elle résulte parfois de l’addition de vibrations beaucoup plus simples. L’analyse de Fourier sépare alors le signal en sinusoïdes : l’une oscille 50 fois par seconde, les suivantes 100, 150 fois, et ainsi de suite.

Pour chacune, l’amplitude indique son poids et la phase son décalage dans le temps. On passe ainsi d’une courbe globale à une liste de composantes que l’on peut comparer.

L’analyse de Fourier décrit un signal périodique à partir de sinusoïdes. Si sa plus petite période positive, c’est-à-dire la durée minimale au bout de laquelle il se répète, vaut T secondes, sa fréquence fondamentale F vaut 1/T hertz. Les fréquences nF, où n est un entier positif, sont ses harmoniques. Chacune possède une amplitude A_n et une phase ${\phi }_n\backslash varphi\_n$. Une éventuelle valeur moyenne a₀, composante de fréquence nulle, complète la description. Lorsque, sur une période, le signal est continûment dérivable par morceaux et admet en tout point des limites à gauche et à droite, sa série de Fourier converge selon les règles de convergence aux points continus et discontinus.

Avec t pour le temps, cette décomposition s’écrit, aux points de continuité du signal, sous la forme : Selon les symétries du signal, certaines amplitudes peuvent être nulles. Dans les calculs, on ne conserve souvent qu’un nombre fini de termes : la somme obtenue est alors une approximation du signal.

Sous ces hypothèses, la série représente exactement le signal aux points où il est continu. Aux discontinuités, elle converge vers la moyenne des limites à gauche et à droite. L’amplitude mesure la contribution d’une harmonique ; la phase fixe sa position dans le cycle.

On rencontre l’analyse de Fourier devant deux représentations complémentaires. Sur un oscilloscope ou une courbe temporelle, le motif se répète à intervalles réguliers. Sur un spectre, l’axe horizontal porte les fréquences et des raies apparaissent à la fondamentale puis à certains de ses multiples. Leur hauteur code l’amplitude ; une seconde information peut donner la phase.

Ces repères se retrouvent en acoustique, en physique, en traitement du signal et en ingénierie. Le support ne montre plus seulement la forme du signal : il révèle quelles oscillations sinusoïdales participent à sa construction.

La grandeur principale à lire est l’amplitude associée à chaque fréquence. Pour le signal conducteur, la plus petite période positive vaut 20 ms, donc la fondamentale vaut 50 Hz. Le spectre du signal conducteur encode les trois composantes retenues, avec leurs phases.

1. Repérez la période T sur la courbe temporelle.
2. Calculez F = 1/T en convertissant d’abord T en secondes.
3. Vérifiez que les raies sont placées aux fréquences nF.
4. Lisez pour chaque raie son amplitude, puis sa phase selon la convention affichée.

Une grande raie attire l’œil, mais elle n’est pas nécessairement la fondamentale : l’amplitude de la première harmonique peut être faible ou nulle. Le bon réflexe consiste à partir de la période du signal, puis à vérifier l’espacement commun des fréquences présentes.

Considérons un signal sans valeur moyenne. Sa période est T = 20 ms. Il contient trois sinusoïdes : amplitude 2 et phase 0 à 50 Hz ; amplitude 1 et phase π/2 à 100 Hz ; amplitude 0,5 et phase 0 à 150 Hz.

1. Convertissez la période : 20 ms = 0,020 s, donc F = 1/0,020 = 50 Hz.
2. Les fréquences 50, 100 et 150 Hz valent respectivement F, 2F et 3F.
3. Avec t exprimé en secondes, le signal est :

4. À t = 0, les trois termes valent 0, 1 et 0 ; ainsi s(0) = 1.
5. À t = 5 ms, ils valent 2, −1 et −0,5 ; ainsi s(0,005) = 0,5. La figure spectrale conserve exactement les mêmes amplitudes et phases.

Le contrôle consiste à remplacer t par t + 0,020 dans chaque sinus : leurs angles augmentent respectivement de 2π, 4π et 6π. Chaque terme reprend donc la même valeur, ce qui confirme la période de 20 ms.

En acoustique, le spectre sépare les composantes d’un son périodique. On compare leurs amplitudes pour décrire son contenu harmonique ; la courbe temporelle reste préférable si l’on cherche surtout l’instant d’une attaque ou d’une rupture.

En traitement du signal, on repère les fréquences fortement présentes avant d’agir sur elles. Une lecture harmonique convient à un régime répétitif ; un événement isolé demande un outil qui conserve mieux sa localisation temporelle.

En physique et en ingénierie, on remplace une oscillation complexe par des composantes sinusoïdales plus faciles à étudier séparément. Si seules quelques raies dominent, une somme tronquée offre une description compacte ; si les détails fins comptent, il faut garder davantage de termes.

Série de Fourier et transformée de Fourier. La série décrit ici un signal périodique par des fréquences discrètes nF. La transformée de Fourier traite un cadre plus général et fournit une description fréquentielle qui n’est pas limitée à cette suite de raies. Un signal strictement périodique, comme celui de période 20 ms, relève naturellement de la série.

Courbe temporelle et spectre. La première donne la valeur du signal au fil du temps ; le second associe amplitudes et phases aux fréquences. Deux signaux peuvent présenter les mêmes amplitudes spectrales mais des phases différentes, donc des courbes temporelles différentes.

Oublier la composante constante. Un signal périodique peut avoir une moyenne non nulle. Le symptôme est une reconstruction centrée autour de zéro alors que les données ne le sont pas. Il faut ajouter le terme a₀, de fréquence nulle.

Prendre la première raie visible pour F. Si l’amplitude A₁ est nulle, le spectre ne montre aucune raie à F. Il faut retrouver la période du signal ou le plus grand espacement compatible avec toutes les fréquences, sans conclure à partir du seul pic dominant.

Confondre somme tronquée et égalité exacte. Garder trois harmoniques peut lisser des détails ou des ruptures. Une oscillation résiduelle près d’une discontinuité ne disparaît pas simplement en ajoutant quelques termes. Il faut annoncer l’approximation et contrôler l’erreur dans le cadre pertinent.

Appliquer directement le modèle périodique à un signal isolé. Sans période T, la fréquence fondamentale F = 1/T n’est pas définie. Il faut alors changer de cadre, par exemple vers la transformée de Fourier, plutôt que d’inventer une répétition.

La série de Fourier précise le cadre périodique et les coefficients de la décomposition.

La Transformée de Fourier prolonge la lecture fréquentielle au-delà des seuls signaux périodiques.

L’article Joseph Fourier replace la méthode dans le parcours du mathématicien auquel elle doit son nom.