AnalyseReprésentation graphique · Glossaire
représentation de Fresnel
La représentation de Fresnel, ou diagramme de Fresnel, est une méthode de représentation géométrique des fonctions sinusoïdales du temps. Dans un repère orthonormé (i→ ; j→), toute fonction sinusoïdale f(t) = A sin(ωt + φ) est associée à un vecteur, dit vecteur de Fresnel, dont le module est le réel positif A (amplitude de la fonction) et dont l'angle polaire par rapport à l'axe i→ vaut, à l'instant t, la quantité ωt + φ. Le paramètre φ est la phase à l'origine et ω désigne la pulsation de la fonction. Ce mode de représentation simplifie l'étude des phénomènes oscillatoires et ondulatoires en permettant de remplacer des calculs trigonométriques par des opérations sur des vecteurs. Il est utilisé en optique, en acoustique, en thermique et en électricité, partout où interviennent des phénomènes périodiques.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier la longueur et l’angle d’un vecteur à l’amplitude et à la phase d’une sinusoïde.
- Lire un diagramme en contrôlant l’origine, l’échelle, le sens et la convention trigonométrique.
- Additionner deux sinusoïdes de même pulsation sur un exemple chiffré vérifiable.
- Repérer les limites liées aux fréquences différentes, aux amplitudes signées et au vecteur nul.
En clair
Sur un écran, deux oscillations montent et descendent au même rythme, mais elles n’atteignent pas leur maximum au même instant. Le diagramme de Fresnel remplace chacune par une flèche : sa longueur indique l’amplitude et sa direction indique l’avance ou le retard de l’oscillation.
Lorsque les deux flèches tournent à la même vitesse, leur écart ne change pas. On peut donc les additionner géométriquement. La flèche résultante donne directement l’amplitude et la phase de la sinusoïde obtenue, sans développer une longue somme trigonométrique.
Définition
La représentation de Fresnel associe une fonction sinusoïdale du temps à un vecteur du plan. Le temps est noté t, l’amplitude positive A, la pulsation ω et la phase à l’origine φ. La fonction s’écrit : .
Le vecteur de Fresnel a pour module A. À l’instant t, son angle polaire par rapport au premier axe vaut . Il tourne donc à la vitesse angulaire ω. Sa projection sur l’axe choisi selon la convention restitue la valeur instantanée de la sinusoïde. Une convention fondée sur le cosinus décale les angles de π/2 par rapport à celle fondée sur le sinus ; il faut conserver la même convention dans tout le calcul.
Pour plusieurs sinusoïdes de même pulsation, on peut figer le dessin à t = 0 : chaque vecteur a alors pour angle φ, et tous tourneraient ensuite du même angle ωt. Leur somme vectorielle fournit un nouveau module et un nouvel angle, donc l’amplitude et la phase de la sinusoïde résultante. Si les pulsations diffèrent, les angles relatifs varient avec le temps et un diagramme unique figé ne suffit plus.
Où on le rencontre
Dans un exercice d’électricité, d’acoustique ou d’optique, le diagramme apparaît comme un repère muni de flèches issues d’une même origine. Leur longueur varie avec l’amplitude, leur orientation avec la phase, et de petits arcs peuvent matérialiser les déphasages. Les flèches portent souvent le nom des grandeurs représentées ; une flèche résultante ou un parallélogramme signale une addition.
Ce support encode des sinusoïdes et non leurs courbes temporelles complètes. Il est pertinent lorsqu’un phénomène périodique en optique, en acoustique, en thermique ou en électricité est décrit par une amplitude, une pulsation et une phase.
Le mode d'emploi
La grandeur principale à lire est le couple formé par l’amplitude et la phase. 1. Repérez l’origine commune et l’échelle des longueurs. 2. Mesurez le module de chaque vecteur : il donne l’amplitude positive. 3. Lisez son angle depuis l’axe de référence, dans le sens positif annoncé. 4. Vérifiez si le dessin adopte le sinus ou le cosinus et si l’angle correspond à t = 0 ou à un autre instant.
Pour additionner des sinusoïdes, assurez-vous d’abord qu’elles ont la même pulsation. Additionnez ensuite les vecteurs, puis lisez sur la résultante son module et son angle. L’œil peut croire qu’une flèche inclinée a une amplitude plus faible parce que sa projection verticale est courte. Le bon réflexe consiste à mesurer sa longueur entière : la projection donne une valeur instantanée, pas l’amplitude.
Un exemple, pas à pas
Deux oscillations de même pulsation sont additionnées. Leurs vecteurs de Fresnel seront construits à l’instant t = 0, puis remplacés par leur résultante.
Données
Le temps t est mesuré en secondes. Les fonctions sont et . Leur pulsation commune vaut 2 rad/s ; leurs amplitudes valent 3 et 4, et leurs phases initiales 30° et 120°.
Construction et calcul
1. À t = 0, les coordonnées des deux vecteurs sont et .
2. Leur somme vaut .
3. Son module est .
4. Son angle dans le premier quadrant vaut .
5. La somme est donc .
2. Leur somme vaut .
3. Son module est .
4. Son angle dans le premier quadrant vaut .
5. La somme est donc .
Le contrôle est refaisable à t = 0 : 3 sin(30°) + 4 sin(120°) vaut environ 4,964, comme 5 sin(83,1°). L’écart initial entre les vecteurs est 90°, ce qui donne aussi 5 par le théorème de Pythagore. La construction vectorielle matérialise les deux amplitudes, leurs phases et la résultante commune.
En pratique
En électricité sinusoïdale, on additionne des tensions ou on compare une tension et un courant de même pulsation à partir de leurs vecteurs. Si les fréquences diffèrent, on revient aux fonctions du temps ou à une décomposition par fréquences.
En optique ou en acoustique, on combine des oscillations cohérentes de même pulsation pour lire l’amplitude et la phase résultantes. Lorsque la phase relative change au cours du temps, un diagramme figé doit être remplacé par une représentation temporelle.
En thermique périodique, le vecteur résume l’amplitude d’une variation et son retard par rapport à une excitation de référence. Si la réponse n’est pas sinusoïdale, il faut traiter séparément ses composantes sinusoïdales plutôt que lui attribuer un seul vecteur.
À ne pas confondre
Diagramme de Fresnel et courbe sinusoïdale. La courbe place le temps en abscisse et montre les valeurs successives de la fonction. Le diagramme place des vecteurs dans un plan et encode amplitude et phase. La présence d’un axe du temps tranche immédiatement.
Vecteur géométrique et vecteur de Fresnel. Un vecteur géométrique décrit un déplacement ou une direction dans un espace. Un vecteur de Fresnel représente une sinusoïde : sa longueur et son angle ont le sens précis d’amplitude et de phase. Une flèche de longueur 3 à 30° code ici l’oscillation 3 sin(ωt + 30°), pas un déplacement matériel.
Limites et pièges
Des pulsations différentes empêchent une somme figée. Si deux vecteurs tournent à des vitesses distinctes, leur angle relatif change : la résultante n’a plus un module et une phase constants. Il faut séparer les fréquences ou revenir à la somme temporelle.
Le choix du sinus ou du cosinus décale les angles. Pour une même oscillation, passer du sinus au cosinus introduit un décalage de π/2. Si les deux conventions sont mélangées, le diagramme donne une phase fausse ; il faut convertir toutes les fonctions avant l’addition.
L’amplitude n’est pas signée. Par convention, le module A est positif. Une écriture avec A < 0 doit être normalisée en remplaçant A par sa valeur absolue et en ajoutant π à la phase.
À amplitude nulle, la phase disparaît. Le cas charnière A = 0 donne le vecteur nul et la fonction identiquement nulle, quel que soit φ. Il ne faut donc pas tenter de lire un angle à l’origine.
Pour aller plus loin
Argument d'un nombre complexe — Pour relier angle polaire, module et écriture complexe d’un vecteur de Fresnel.
fonction trigonométrique — Pour replacer sinus et cosinus parmi les fonctions périodiques usuelles.
série de Fourier — Pour passer d’une sinusoïde à la décomposition d’un signal périodique en plusieurs fréquences.
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