fonction périodique de Bernoulli

Imaginez une onde de base, puis des ondulations de plus en plus rapides que l’on superpose. La fonction de Clausen associe un nombre à chaque angle θ en additionnant ces oscillations. L’exposant s atténue les ondulations rapides : plus leur rang est élevé, plus leur contribution est divisée par une grande puissance.

Lorsque l’angle avance d’un tour complet, chaque oscillation retrouve sa valeur : la somme est donc périodique. Pour Cl₂, les contributions décroissent comme les inverses des carrés, ce qui permet d’approcher la valeur en additionnant quelques termes.

Pour construire une fonction périodique de Bernoulli d’ordre entier k ≥ 2, on prend le polynôme de Bernoulli B_k sur l’intervalle [0, 1), puis on répète ce motif sur chaque intervalle de longueur 1 : pour un réel x, on évalue donc B_k sur la partie fractionnaire de x. La fonction obtenue est 1-périodique. Elle ne se confond pas, en général, avec la fonction de Clausen généralisée Cl_s, fonction réelle définie par une série de Fourier en sinus. Le lien est limité : pour les ordres entiers impairs s = 2m + 1, le développement en sinus de la fonction périodique de Bernoulli devient, après le changement d’angle θ = 2πx, proportionnel à Cl_s, avec un facteur qui dépend de l’ordre ; aux ordres pairs, les polynômes de Bernoulli pairs correspondent à une série en cosinus. Dans Cl_s, l’argument réel θ est un angle, l’exposant réel s règle la décroissance des termes et l’entier positif n désigne le rang de l’harmonique. Sa définition est :

La condition s > 1 garantit la convergence de la série pour tout réel θ. Comme chaque sinus reprend la même valeur après l’ajout de 2π à θ, Cl_s est 2π-périodique. Le cas s = 2 porte le nom de dilogarithme de Clausen. Il possède aussi la représentation ${\mathrm{C}\mathrm{l}}_2(\theta )=-{\int }_0^{\theta }\ln \mid 2\sin (t\mathrm{/}2)\mid dt\backslash mathrm\{Cl\}\_2(\backslash theta)=-\backslash int\_0^\{\backslash theta\}\backslash ln\backslash lvert\; 2\backslash sin(t/2)\backslash rvert\backslash ,dt$, où t est la variable d’intégration. Sur le cercle unité, Cl_s est la partie imaginaire du polylogarithme correspondant.

La construction réunit cinq éléments. L’angle réel θ fixe le point où la fonction est évaluée. Le rang entier n sélectionne successivement les oscillations sinusoïdales. Le terme sin(nθ) fournit leur signe et leur amplitude avant pondération. Le facteur 1/n^s, déterminé par l’exposant réel s, réduit la contribution des rangs élevés. Enfin, le symbole de somme infinie demande d’additionner tous les rangs à partir de 1.

Le rang n agit donc à la fois sur la fréquence nθ et sur le poids 1/n^s. L’angle agit sur chaque sinus, tandis que s ne modifie que son poids. Ces données suffisent à calculer des sommes partielles, puis à approcher Cl_s(θ). La couleur ou l’échelle choisie pour tracer la courbe ne fait pas partie de la définition.

On cherche Cl₂(π/2). Les données sont l’angle θ = π/2, l’exposant s = 2 et une troncature au rang n = 9. Les termes de rang pair sont nuls ; les cinq autres alternent de signe. Le diagramme prévu après ce bloc rend visibles leurs tailles relatives.

1. Pour n = 1, la contribution vaut 1.
2. Pour n = 3, elle vaut −1/9.
3. Pour n = 5, elle vaut 1/25.
4. Pour n = 7, elle vaut −1/49.
5. Pour n = 9, elle vaut 1/81.

La somme partielle est $S_9=1-\frac{1}{9}+\frac{1}{25}-\frac{1}{49}+\frac{1}{81}\approx \mathrm{0,920826}S\_9=1-\backslash frac\{1\}\{9\}+\backslash frac\{1\}\{25\}-\backslash frac\{1\}\{49\}+\backslash frac\{1\}\{81\}\backslash approx0\{,\}920826$. Le résultat est un nombre sans unité. Pour le contrôler, le terme non nul suivant vaut −1/121. La série non nulle étant alternée avec des tailles décroissantes, la valeur cherchée se trouve entre 0,920826 − 1/121 et 0,920826, soit entre environ 0,912562 et 0,920826.

Pour obtenir une valeur numérique, on additionne d’abord une somme partielle de la série. On augmente le rang d’arrêt jusqu’à ce que l’erreur visée soit compatible avec le reste estimé. Pour Cl₂, la représentation intégrale constitue une autre voie lorsque le calcul porte déjà sur une intégrale.

La fiche ne développe pas une formule particulière de volume, mais donne un repère pour en lire une : si un calcul de géométrie hyperbolique contient un terme Cl₂(α), α est l’angle transmis à la fonction et la série permet d’évaluer le nombre réel qui intervient, avec les coefficients propres à la formule considérée. Si le problème est formulé avec des variables complexes sur le cercle unité, la partie imaginaire du polylogarithme fournit l’écriture alternative indiquée par la définition.

Pour explorer la fonction sur un tour, on fait varier θ de 0 à 2π en gardant le même exposant s. Comparer les sommes partielles permet de distinguer une propriété stable de la courbe d’un effet dû à une troncature trop courte.

Fonction de Clausen et polylogarithme. La première est ici une fonction réelle de l’angle, définie par une série de sinus. Le second est l’objet dont elle fournit la partie imaginaire lorsque l’argument parcourt le cercle unité. Le critère est donc le type de valeur étudiée : Cl_s(θ) isole cette partie imaginaire, tandis que le polylogarithme conserve la valeur complexe complète.

Seuil de l’exposant. La définition donnée ici suppose s > 1, condition qui garantit la convergence. Pour s ≤ 1, cette garantie ne s’applique plus : il faut étudier séparément l’angle et le sens de convergence au lieu de reprendre automatiquement la même définition.

Singularité dans l’écriture intégrale. Pour Cl₂, le logarithme de l’intégrande n’est pas défini lorsque sin(t/2) = 0. L’intégrale qui rencontre un tel point se lit comme une intégrale impropre, par passage à la limite, et non comme l’évaluation ordinaire d’une fonction continue sur tout le trajet.

Somme partielle. Couper la série au rang N donne une approximation, pas une égalité avec Cl_s(θ). Une borne simple du reste est $\mid R_N\mid \le {\sum }_{n=N+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}\backslash lvert\; R\_N\backslash rvert\backslash leq\backslash sum\_\{n=N+1\}^\{\backslash infty\}\backslash frac\{1\}\{n^s\}$. À un multiple de 2π, en revanche, chaque sinus est nul et la valeur exacte est 0.

La fiche série de Fourier précise comment une fonction se décompose en oscillations et situe la série en sinus utilisée par Cl_s.

La fiche fonction polylogarithme prolonge le lien complexe dont Cl_s constitue la partie imaginaire sur le cercle unité.