fonction lemniscatique

Sur un cercle unité, la longueur parcourue depuis un point de départ fournit un angle, puis le sinus donne une coordonnée. Remplaçons le cercle par une lemniscate de Bernoulli, la courbe à deux boucles. La même idée conduit au sinus lemniscatique : une longueur d’arc repère un point de la boucle, et la fonction renvoie une valeur liée à sa position.

Le quart de cercle fait intervenir π/2. Le quart de lemniscate fait intervenir une autre constante, notée ϖ, qui vaut environ 2,622. Le sinus et le cosinus lemniscatiques jouent ainsi, pour cette courbe, un rôle comparable à celui du sinus et du cosinus pour le cercle.

Les fonctions lemniscatiques sont des fonctions elliptiques associées à la longueur d’arc de la lemniscate de Bernoulli normalisée, dont la distance polaire r et l’angle polaire θ vérifient $r^2=\cos (2\theta )r^2=\backslash cos(2\backslash theta)$. Sur un quart de boucle réel, on définit d’abord, pour une valeur réelle x comprise entre 0 et 1, la longueur réduite F(x) : La fonction F est strictement croissante sur cet intervalle. Son inverse est le sinus lemniscatique, noté sl ou sinlemn : $\mathrm{sl}(F(x))=x\backslash operatorname\{sl\}(F(x))=x$.

La constante lemniscatique ϖ fixe l’échelle naturelle : Ainsi, F(1) vaut ϖ/2. Le cosinus lemniscatique, noté cl ou coslemn, se définit par analogie avec le cosinus et peut être obtenu, selon la convention retenue, par un décalage du sinus lemniscatique d’un quart de longueur lemniscatique.

Après prolongement au plan complexe, sl et cl deviennent des fonctions elliptiques. Elles possèdent des formules d’addition analogues aux formules trigonométriques et une périodicité organisée par les longueurs 2ϖ dans la direction réelle et 2iϖ dans la direction imaginaire. Fagnano et Gauss les ont étudiées au XVIII^e siècle, puis Abel au XIX^e siècle.

La construction repose sur six éléments. La lemniscate normalisée fournit la courbe et son quart de boucle. La variable x, comprise entre 0 et 1 dans la construction réelle de départ, repère la distance polaire atteinte sur ce quart. L’intégrale F(x) transforme cette position en longueur d’arc réduite.

Le sinus lemniscatique sl effectue l’opération inverse : une longueur u étant donnée, sl(u) restitue x. La constante ϖ correspond à deux fois la longueur réduite du quart de boucle ; elle fixe donc les quarts de période et l’échelle des formules d’addition. Sixième élément, le cosinus lemniscatique cl complète sl par une convention de décalage analogue à celle qui relie cosinus et sinus.

La courbe détermine l’intégrande, l’intégrale détermine F, puis l’inversion détermine sl. Ces données suffisent à calculer des valeurs réelles sur le quart de boucle ; le prolongement complexe fournit ensuite les fonctions elliptiques et leur réseau de périodes. Le choix graphique de l’orientation ou de la couleur de la lemniscate ne fait pas partie de la définition.

Sur le quart supérieur de la boucle droite, choisissons la distance polaire x = 1/2. La donnée est donc x = 0,5, l’intégrande est $1\mathrm{/}\sqrt{1-t^4}1/\backslash sqrt\{1-t^4\}$, et la longueur réduite cherchée est notée u. La figure montre le même point P et l’arc parcouru depuis le centre de la lemniscate.

1. On remplace la borne x par 0,5 dans F.
2. On évalue numériquement l’intégrale : 3. Puisque sl est l’inverse de F sur ce quart de boucle, on obtient exactement $\mathrm{sl}(u)=\mathrm{0,5}\backslash operatorname\{sl\}(u)=0\{,\}5$.
4. Arrondie à quatre décimales, la longueur d’entrée est u ≈ 0,5032.

Un contrôle simple encadre le résultat. Entre 0 et 0,5, l’intégrande reste compris entre 1 et $4\mathrm{/}\sqrt{15}4/\backslash sqrt\{15\}$. L’intégrale est donc comprise entre 0,5 et $2\mathrm{/}\sqrt{15}\approx \mathrm{0,5164}2/\backslash sqrt\{15\}\backslash approx0\{,\}5164$ ; la valeur 0,5032 est cohérente.

Pour retrouver une position sur un quart de lemniscate à partir d’une longueur d’arc, on calcule sl(u), souvent par inversion numérique de l’intégrale F. Si la courbe de référence est un cercle, le sinus trigonométrique reste l’outil adapté.

Pour comparer une longueur de lemniscate à son échelle naturelle, on la rapporte à ϖ ou à ϖ/2. Le choix de π serait pertinent pour le cercle, mais ne respecterait pas la géométrie de la lemniscate.

Dans l’étude complexe, les formules d’addition et les périodes permettent de ramener un argument à une zone de référence. Pour une fonction elliptique qui n’est pas liée à la lemniscate normalisée, il faut employer sa propre normalisation plutôt que réutiliser automatiquement sl, cl et ϖ.

Fonction lemniscatique et lemniscate de Bernoulli. La lemniscate est la courbe d’équation polaire r² = cos(2θ). Une fonction lemniscatique associe des valeurs à ses longueurs d’arc. Un dessin en forme de huit désigne donc la courbe, pas la fonction.

Sinus lemniscatique et sinus trigonométrique. Le premier inverse une intégrale contenant 1 − t⁴ et utilise ϖ ; le second est associé au cercle et utilise π. Pour x = 0,5, l’entrée lemniscatique vaut environ 0,5032, et non l’angle circulaire arcsin(0,5) = π/6.

Fonction lemniscatique et fonction elliptique quelconque. Toute fonction lemniscatique appartient à la famille elliptique après prolongement complexe, mais elle est distinguée par la lemniscate et sa normalisation. Une autre courbe ou une autre intégrale elliptique peut conduire à d’autres fonctions et périodes.

Borne réelle. L’intégrale de départ est réelle pour |x| ≤ 1. Au point x = 1, son intégrande devient infini, mais l’intégrale reste finie et vaut ϖ/2. Une intégration numérique naïve qui évalue directement l’extrémité peut donc échouer ; il faut traiter cette singularité intégrable.

Inverse local puis prolongement. Sur le quart de boucle, F est croissante et son inverse réel est sans ambiguïté. Hors de cet intervalle, les racines et l’inversion exigent un choix de branche ; il faut annoncer ce choix ou employer le prolongement elliptique fixé.

Convention pour cl. Les notations cl et coslemn ne suffisent pas toujours à identifier une normalisation. Avant d’appliquer une identité ou une valeur spéciale, il faut vérifier la définition par décalage et la valeur choisie pour ϖ.

Périodes complexes. Les longueurs 2ϖ et 2iϖ décrivent deux directions du réseau de périodes, pas deux valeurs interchangeables dans un calcul réel. Pour réduire un argument complexe, il faut conserver séparément ses translations réelle et imaginaire.

La lemniscate de Bernoulli détaille la courbe dont la longueur d’arc engendre sl, cl et la constante ϖ.

La fonction elliptique replace les fonctions lemniscatiques dans la famille des fonctions complexes doublement périodiques.