lemniscate de Bernoulli

Imaginez deux punaises plantées de part et d’autre d’un point central. On cherche tous les points dont les distances aux deux punaises ont toujours le même produit. Leur tracé forme deux boucles qui se rejoignent au centre, comme un ruban noué ou un huit couché.

Cette courbe est la lemniscate de Bernoulli. Près d’une punaise, une distance diminue tandis que l’autre augmente : c’est leur produit, et non leur somme, qui reste fixé.

La lemniscate de Bernoulli est une courbe plane définie par deux foyers distincts F et F′. Le point O est le milieu du segment FF′. Un point M appartient à la courbe lorsque le produit de ses distances aux foyers est égal au carré de la distance OF : $MF\cdot M{F}^{\mathrm{\prime }}=O{F}^{2}MF\backslash cdot\; MF\text{'}=OF^2$.

Dans un repère centré en O, l’axe horizontal passant par les foyers, on note a le paramètre positif tel que $OF=a\mathrm{/}\sqrt{2}OF=a/\backslash sqrt\{2\}$. Si x et y sont les coordonnées de M, l’équation cartésienne est : Avec la distance polaire ρ et l’angle polaire θ mesuré depuis l’axe des foyers, elle devient : Cette écriture réelle exige que le cosinus de 2θ soit positif ou nul.

La courbe est un cas particulier d’ovale de Cassini, de courbe de Booth et de spirale sinusoïdale. Sa forme comporte deux boucles symétriques qui se rencontrent en O. Une inversion centrée en O la relie à une hyperbole équilatère, dont elle peut aussi être obtenue comme podaire. L’étude de la longueur de ses arcs mène aux intégrales elliptiques, une relation approfondie au XVIIIe siècle.

Prenons le paramètre a égal à 2. Le centre est O de coordonnées (0, 0), les foyers sont F de coordonnées (−√2, 0) et F′ de coordonnées (√2, 0), et le point testé est M de coordonnées (2, 0).

1. La demi-distance focale vaut $OF=a\mathrm{/}\sqrt{2}=\sqrt{2}OF=a/\backslash sqrt\{2\}=\backslash sqrt\{2\}$.
2. Son carré vaut donc $O{F}^2=2OF^2=2$.
3. Sur l’axe horizontal, les distances de M aux foyers valent $MF=2+\sqrt{2}MF=2+\backslash sqrt\{2\}$ et $M{F}^{\mathrm{\prime }}=2-\sqrt{2}MF\text{'}=2-\backslash sqrt\{2\}$.
4. Leur produit est $MF\cdot M{F}^{\mathrm{\prime }}=(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})=4-2=2MF\backslash cdot\; MF\text{'}=(2+\backslash sqrt\{2\})(2-\backslash sqrt\{2\})=4-2=2$.

Le produit obtenu est exactement OF² : M appartient donc à la lemniscate. Un contrôle indépendant consiste à remplacer x par 2 et y par 0 dans l’équation cartésienne : les deux membres valent 16. La courbe calculée pour ces mêmes données rend visibles les foyers, le centre et les extrémités (−2, 0) et (2, 0).

Pour vérifier qu’un point appartient à la courbe, on peut mesurer ses deux distances aux foyers et comparer leur produit à OF². Cette méthode est préférable lorsque les foyers sont connus directement.

Lorsque les coordonnées du point sont données, l’équation cartésienne évite de calculer deux racines carrées. Dans l’exemple où a vaut 2, le point (2, 0) convient parce que les deux membres de l’équation valent 16.

Pour tracer la courbe angle par angle, l’équation polaire est la plus directe. On ne conserve que les angles pour lesquels le cosinus de 2θ est positif ou nul, puis on calcule la distance ρ au centre.

La lemniscate de Bernoulli ne se réduit pas au symbole ∞. Le symbole en reprend l’allure, tandis que la courbe est le lieu précis défini par un produit de distances constant. Un huit couché dessiné librement n’est donc pas nécessairement une lemniscate.

Elle ne se confond pas non plus avec l’hyperbole équilatère. Une inversion centrée en O peut transformer l’une en l’autre, mais leurs équations et leurs tracés restent différents : la lemniscate possède deux boucles bornées, tandis que l’hyperbole comporte des branches non bornées.

Le paramètre a doit être strictement positif dans cette description, car les foyers sont distincts. Si a vaut 0, ils se confondent et l’équation ne laisse que l’origine : la courbe en deux boucles disparaît.

Dans l’équation polaire réelle, un cosinus de 2θ négatif ne donne aucune valeur réelle de ρ. Il ne faut pas remplacer la racine carrée par celle de la valeur absolue, car cela ajouterait des points étrangers à la lemniscate.

Le centre O est un point singulier où les deux boucles se rejoignent. Comme ρ y vaut 0, plusieurs angles polaires décrivent le même point ; l’angle n’y fournit donc pas une direction unique de lecture.

L’ovale de Cassini replace la lemniscate dans la famille des lieux où le produit des distances à deux foyers est constant.

L’hyperbole équilatère éclaire la transformation par inversion et la propriété de podaire mentionnées dans la définition de référence.