GéométrieNotion · Glossaire
ovale de Cassini
Un ovale de Cassini est le lieu geometrique des points M du plan tels que le produit des distances a deux foyers fixes F₁ et F₂ est constant : MF₁ × MF₂ = k², ou k est un reel positif non nul. Ces courbes ont ete etudiees par Giovanni Domenico Cassini (1680) dans le cadre de la controverse entre geocentrisme et heliocentrisme. Selon les valeurs de k par rapport a la distance |F₁F₂|, la courbe est un ovale (si k > |F₁F₂|/2), une lemniscate de Bernoulli (si k = |F₁F₂|/2) ou deux ovales separes (si k < |F₁F₂|/2).
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier l'ovale de Cassini à un produit de distances constant.
- Vérifier l'appartenance d'un point par un calcul complet.
- Prévoir une boucle, une lemniscate ou deux composantes en comparant k à la demi-distance focale.
- Distinguer l'ovale de Cassini de l'ellipse par un critère testable.
En clair
Imaginez deux points fixes sur une feuille. Pour chaque point M choisi, mesurez sa distance au premier point et sa distance au second, puis multipliez les deux nombres. L'ovale de Cassini rassemble tous les points M qui donnent le même produit.
La forme dépend de la constante retenue. Un produit assez grand dessine une seule boucle autour des deux foyers. À la valeur charnière, la boucle se pince au milieu. En dessous, elle se sépare en deux boucles, chacune entourant un foyer.
Définition
Soient F1 et F2 deux foyers fixes du plan. Un ovale de Cassini est le lieu des points M pour lesquels le produit MF1 × MF2 reste égal à k2, où k est un réel strictement positif. Si la distance entre les foyers vaut 2a, le seuil qui gouverne la forme est a, la demi-distance focale.
Dans un repère dont l'origine est le milieu des foyers, avec F1 = (−a, 0) et F2 = (a, 0), un point M de coordonnées (x, y) appartient à la courbe exactement lorsque :
Si k > a, le lieu forme une seule boucle autour des deux foyers. Si k = a, il devient une lemniscate de Bernoulli, dont les deux lobes se rejoignent au milieu des foyers. Si 0 < k < a, le lieu possède deux composantes séparées. Ces courbes ont été étudiées par Giovanni Domenico Cassini en 1680, dans le contexte de la controverse entre géocentrisme et héliocentrisme.
Un exemple, pas à pas
Plaçons les foyers F1 = (−2, 0) et F2 = (2, 0), puis choisissons k = 3. La courbe attendue est une seule boucle, car la demi-distance focale vaut 2 et 3 > 2. Le tracé montre cette boucle et les deux distances utilisées pour contrôler un point.
Données.
Foyers : F1 = (−2, 0) et F2 = (2, 0).
Constante : k = 3, donc k2 = 9.
Point à tester : M = (0, √5).
Foyers : F1 = (−2, 0) et F2 = (2, 0).
Constante : k = 3, donc k2 = 9.
Point à tester : M = (0, √5).
Étape 1. La distance de M à F1 est .
Étape 2. Par symétrie, la distance de M à F2 vaut aussi 3. Le produit demandé est donc MF1 × MF2 = 3 × 3 = 9. Il est égal à k2, donc M appartient à l'ovale.
Étape 3. Sur l'axe horizontal, le point d'abscisse √13 fournit un second contrôle : ses distances aux foyers sont √13 + 2 et √13 − 2.
Contrôle. Le produit (√13 + 2)(√13 − 2) vaut 13 − 4 = 9. Ce point appartient lui aussi à la courbe, qui coupe donc l'axe horizontal en x = √13 et, par symétrie, en x = −√13.
En pratique
Pour vérifier qu'un point appartient à un ovale de Cassini, on calcule ses deux distances aux foyers, puis leur produit. Si l'on dispose plutôt des coordonnées, l'équation cartésienne évite de conserver deux racines carrées.
Pour prévoir l'allure avant de tracer, on compare k à la moitié de la distance entre les foyers. Cette comparaison indique immédiatement s'il faut chercher une boucle, une lemniscate ou deux composantes séparées.
Pour construire un tracé numérique, on fixe les deux foyers et la valeur de k, puis on représente l'ensemble des points satisfaisant l'équation. Un simple contour dessiné à main levée ne suffit pas pour contrôler le produit constant.
À ne pas confondre
Ovale de Cassini et ellipse. L'ellipse garde constante la somme des distances aux foyers ; l'ovale de Cassini garde leur produit constant. Dans l'exemple, M = (0, √5) donne le produit 9 et la somme 6. Le point N = (√13, 0) donne encore le produit 9, mais sa somme vaut 2√13, qui n'est pas égale à 6. Les deux points appartiennent donc au même ovale de Cassini, pas à une même ellipse de foyers F1 et F2.
Limites et pièges
Le mot « ovale » ne garantit pas une seule boucle. Lorsque 0 < k < |F1F2|/2, le lieu se sépare en deux composantes. Il faut comparer les paramètres avant d'interpréter le nom comme une indication de forme.
L'égalité est un cas charnière. Lorsque k = |F1F2|/2, les deux lobes se rejoignent au milieu des foyers : la courbe est la lemniscate de Bernoulli. Il ne faut la classer ni parmi les boucles séparées ni parmi les ovales sans pincement.
La constante de distance n'est pas k. Avec la convention de cette fiche, le produit vaut k2. Dans l'exemple, k = 3 impose donc un produit égal à 9, et non à 3. Il faut contrôler la convention avant de comparer deux équations.
La condition k > 0 est nécessaire. Le cas k = 0 est exclu de la définition source. Il ne faut donc pas le présenter comme l'un des trois régimes de l'ovale de Cassini étudiés ici.
Pour aller plus loin
L'équation cartésienne met en évidence les symétries par rapport à l'axe des foyers, à sa médiatrice et à leur milieu. Elle permet aussi d'étudier continûment la transformation de la courbe quand k traverse la demi-distance focale.
Le cas charnière possède sa propre fiche : lemniscate de Bernoulli. Elle approfondit la courbe obtenue lorsque k égale exactement la demi-distance entre les foyers.
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