Bifocale (définition de l'hyperbole)

Plantez deux repères fixes, puis choisissez un point mobile. Mesurez sa distance à chacun des repères et soustrayez la plus petite de la plus grande. Si cette différence reste égale à une constante strictement positive et strictement inférieure à la distance entre les deux repères pendant que le point se déplace, sa trajectoire dessine une hyperbole, composée de deux branches.

Les deux repères sont les foyers. La définition est dite bifocale parce qu'elle caractérise chaque point de la courbe à partir de ces deux foyers, et non à partir de son apparence seule.

Dans un plan euclidien, fixons deux points distincts appelés foyers, notés F et F'. Une hyperbole est le lieu des points P pour lesquels la valeur absolue de la différence des distances à ces foyers est une constante strictement positive et strictement inférieure à la distance FF'. En notant a le demi-axe transverse, cette condition s'écrit :

La distance entre les foyers vaut 2c, où c est la demi-distance focale. Dans la position standard d'une hyperbole horizontale centrée à l'origine, b désigne le demi-axe conjugué et les paramètres vérifient $c^2=a^2+b^{2}c^2=a^2+b^2$. L'équation cartésienne correspondante est $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\backslash frac\{x^2\}\{a^2\}-\backslash frac\{y^2\}\{b^2\}=1$. La condition $0<2a<2c0\backslash lt\; 2a\backslash lt\; 2c$ garantit une hyperbole non dégénérée à deux branches. Pour une ellipse, le geste bifocal change : c'est la somme des deux distances qui reste constante, et la relation devient $c^2=a^2-b^{2}c^2=a^2-b^2$.

La construction repose sur deux foyers F et F', un centre situé à leur milieu, deux sommets placés sur l'axe qui joint les foyers, et deux branches. Le paramètre c fixe chaque foyer à la distance c du centre. Le paramètre a place chaque sommet à la distance a du centre et fixe la différence constante 2a.

Le paramètre b se déduit de a et c par $b^2=c^2-a^{2}b^2=c^2-a^2$ ; il commande l'ouverture des branches et la pente de leurs asymptotes dans la position standard. Ces données suffisent à construire l'hyperbole. Une rotation ou une translation change son orientation ou sa position, mais pas sa propriété bifocale.

Considérons une hyperbole centrée à l'origine. Son demi-axe transverse vaut a = 3, son demi-axe conjugué vaut b = 4 et ses foyers sont F(5, 0) et F'(-5, 0). Vérifions la définition bifocale sur le point P(5, 16/3).

1. La demi-distance focale se calcule par $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5c=\backslash sqrt\{a^2+b^2\}=\backslash sqrt\{3^2+4^2\}=5$, ce qui confirme les coordonnées des foyers.

2. Le point P appartient à la courbe car $\frac{5^2}{3^2}-\frac{(16\mathrm{/}3{)}^2}{4^2}=\frac{25}{9}-\frac{16}{9}=1\backslash frac\{5^2\}\{3^2\}-\backslash frac\{(16/3)^2\}\{4^2\}=\backslash frac\{25\}\{9\}-\backslash frac\{16\}\{9\}=1$.

3. Les distances aux foyers valent $PF=\frac{16}{3}PF=\backslash frac\{16\}\{3\}$ et $P{F}^{\mathrm{\prime }}=\sqrt{{10}^2+(16\mathrm{/}3{)}^2}=\frac{34}{3}PF\text{'}=\backslash sqrt\{10^2+(16/3)^2\}=\backslash frac\{34\}\{3\}$.

4. Leur différence absolue est $\mid PF-P{F}^{\mathrm{\prime }}\mid =\frac{34}{3}-\frac{16}{3}=6=2a\backslash left|PF-PF\text{'}\backslash right|=\backslash frac\{34\}\{3\}-\backslash frac\{16\}\{3\}=6=2a$. Le contrôle bifocal est donc exact. Le même calcul au sommet (3, 0) donne les distances 2 et 8, dont la différence vaut encore 6.

Pour vérifier qu'un point appartient à une hyperbole connue par ses foyers, on calcule ses deux distances focales. On retient la définition bifocale lorsque leur différence absolue vaut 2a ; l'équation cartésienne est souvent plus rapide si les coordonnées et les axes sont déjà connus.

Pour construire une hyperbole point par point, on choisit plusieurs couples de distances r₁ et r₂ dont la différence absolue vaut 2a et qui vérifient, avec d = FF', |r₁ − r₂| ≤ d ≤ r₁ + r₂, puis on croise les cercles correspondants centrés aux deux foyers. Les inégalités doivent être strictes si l'on veut deux points de croisement distincts. Cette méthode est préférable quand les foyers et la constante sont donnés sans équation.

Pour retrouver les foyers depuis une équation standard, on lit a et b, puis on calcule c avec $c=\sqrt{a^2+b^2}c=\backslash sqrt\{a^2+b^2\}$. On choisit plutôt une mise sous forme canonique lorsque l'équation est développée ou que le centre n'est pas l'origine.

Ellipse. Elle possède aussi deux foyers, mais la somme des distances reste constante. Pour deux foyers fixes séparés par une distance strictement comprise entre 6 et 10, des distances 2 et 8 illustrent les deux critères : une somme fixée à 10 caractérise une ellipse ; une différence absolue fixée à 6 caractérise une hyperbole.

Parabole. Elle compare la distance à un foyer avec la distance à une droite appelée directrice. Si le critère fait intervenir deux foyers, il ne s'agit pas de sa définition focale.

Fonction inverse. Son graphe est une hyperbole particulière après choix du repère, mais toute hyperbole n'est pas le graphe d'une fonction de la forme x ↦ k/x dans le repère considéré. Le critère bifocal porte sur les distances, pas sur une formule de fonction particulière.

La constante doit être plus petite que la distance focale totale. Pour deux foyers séparés de 2c, l'inégalité triangulaire impose $\mid PF-P{F}^{\mathrm{\prime }}\mid \le 2c\backslash left|PF-PF\text{'}\backslash right|\backslash leq\; 2c$. Une constante supérieure à 2c ne donne aucun point.

Les valeurs charnières sont dégénérées. Une constante nulle donne la médiatrice des foyers, pas une hyperbole non dégénérée. Pour une constante égale à 2c, le lieu se réduit aux deux demi-droites de l'axe situées à l'extérieur du segment focal. Il faut donc exiger 0 < 2a < 2c.

La différence doit être prise en valeur absolue. L'équation PF − PF' = 2a ne sélectionne qu'une branche selon l'ordre choisi. La valeur absolue réunit les deux branches de l'hyperbole.

Le repère standard n'est pas la définition. Après rotation ou translation, l'équation $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\backslash frac\{x^2\}\{a^2\}-\backslash frac\{y^2\}\{b^2\}=1$ change de forme, tandis que la propriété des deux distances reste vraie. Il faut remettre l'équation sous forme canonique ou travailler directement avec les foyers.

La fiche hyperbole replace la propriété bifocale parmi les autres descriptions et propriétés de cette courbe.

La fiche ellipse développe l'autre grande définition à deux foyers, fondée cette fois sur une somme constante.

La fiche conique situe l'hyperbole et l'ellipse dans une même famille de courbes.