fonction elliptique

Imaginez un motif dessiné sur le plan complexe. Un déplacement d'un pas dans une première direction le laisse inchangé. Un autre pas, orienté différemment, produit le même effet. Les copies forment ainsi un pavage à deux dimensions.

Une fonction elliptique réalise ce principe avec des valeurs complexes. Elle peut avoir des pôles, où sa valeur devient infinie, mais son comportement se répète selon deux périodes qui ne sont pas alignées. Un seul parallélogramme du pavage contient donc toute l'information, répétée partout ailleurs.

Une fonction elliptique est une fonction méromorphe sur le plan complexe ℂ : elle est holomorphe sauf en des pôles isolés. Elle possède deux nombres complexes non nuls, appelés périodes et notés ω₁ et ω₂. Leur quotient n'est pas réel, ce qui signifie que leurs directions ne sont pas alignées.

En considérant f comme une fonction à valeurs dans la sphère de Riemann, pour tout nombre complexe z, la double périodicité s'écrit $f(z+{\omega }_1)=f(z+{\omega }_2)=f(z)f(z+\backslash omega\_1)=f(z+\backslash omega\_2)=f(z)$. Par répétition, ajouter à z n'importe quelle combinaison entière des deux périodes ne change pas la valeur. L'ensemble de ces déplacements forme le réseau $\mathrm{\Lambda }=\{m{\omega }_1+n{\omega }_2\mid m,n\in \mathbb{Z}\}\backslash Lambda=\backslash \{m\backslash omega\_1+n\backslash omega\_2\backslash mid\; m,n\backslash in\backslash mathbb\; Z\backslash \}$. Un parallélogramme engendré par ω₁ et ω₂ est un domaine fondamental du réseau.

Pour des paramètres non dégénérés appropriés, les fonctions de Jacobi sn, cn et dn, ainsi que la fonction ℘ de Weierstrass, sont des exemples canoniques. Dans un domaine fondamental, une fonction elliptique non constante prend chaque valeur un nombre fini de fois, en comptant correctement les multiplicités. La somme des résidus de ses pôles dans ce domaine est nulle.

Quatre éléments structurent l'objet. Le plan complexe fournit les points z où la fonction est évaluée. La méromorphie autorise des pôles isolés tout en imposant une régularité ailleurs. Les deux périodes ω₁ et ω₂ déterminent des déplacements invariants. Leur réseau rassemble toutes les sommes mω₁ + nω₂, où m et n sont des entiers.

Les périodes doivent être non alignées pour que le réseau soit réellement bidimensionnel. Elles engendrent alors un parallélogramme fondamental, dont les côtés opposés représentent les mêmes positions après translation. Connaître la fonction sur ce domaine suffit à la prolonger périodiquement sur tout ℂ. Le choix d'une autre base du même réseau change la forme du parallélogramme, mais pas la fonction ni son réseau de répétition.

Considérons une fonction elliptique f dont les périodes sont le nombre réel 1 et le nombre imaginaire i. Prenons un point quelconque z₀. Les données sont donc ω₁ = 1, ω₂ = i et le point de départ z₀.

1. Une translation de 1 donne f(z₀ + 1) = f(z₀).
2. Une translation de i donne f(z₀ + i) = f(z₀).
3. En enchaînant les deux déplacements, f(z₀ + 1 + i) = f(z₀ + i) = f(z₀).
4. Les quatre points occupent la même position relative dans quatre cellules voisines du réseau.

Le contrôle est immédiat : le quotient des périodes vaut 1/i = −i, qui n'est pas réel. Les deux directions sont donc indépendantes sur ℝ. La même vérification fonctionne pour z₀ + m + ni avec n'importe quels entiers m et n.

Dans un calcul, on ramène d'abord l'argument dans un parallélogramme fondamental en lui retranchant des multiples entiers des deux périodes. Au lieu d'étudier tout le plan complexe, on travaille ainsi dans une seule cellule du réseau.

Les fonctions de Jacobi sn, cn et dn sont des formes usuelles lorsqu'un problème issu d'intégrales elliptiques conserve leurs paramètres. La fonction ℘ de Weierstrass est préférée lorsqu'on veut mettre au premier plan le réseau de périodes lui-même.

Pour contrôler un résultat sur un domaine fondamental, on repère aussi tous les pôles et leurs résidus. Si la somme des résidus n'est pas nulle, une singularité a été oubliée ou le domaine a été compté de manière incohérente.

Une intégrale elliptique est une intégrale apparue historiquement dans des problèmes comme la rectification de l'ellipse. Une fonction elliptique est méromorphe et doublement périodique. Le test décisif est donc l'existence de deux périodes complexes non alignées, pas la présence d'une ellipse dans l'énoncé.

Une fonction simplement périodique ne possède qu'une direction de répétition indépendante. Par exemple, connaître une période réelle ne suffit pas : il faut une seconde période dont le quotient avec la première n'est pas réel pour obtenir une fonction elliptique.

Le mot elliptique ne signifie pas que le graphe de la fonction est une ellipse. Il signale ici une famille née de l'étude des intégrales elliptiques ; le critère mathématique reste la méromorphie et la double périodicité sur ℂ.

Une fonction constante satisfait toutes les égalités de périodicité, mais elle ne prend évidemment pas chaque valeur. La propriété de prendre chaque valeur un nombre fini de fois concerne donc seulement les fonctions elliptiques non constantes.

Deux périodes colinéaires ne définissent pas un réseau bidimensionnel. Le symptôme est un quotient ω₁/ω₂ réel. Il faut alors trouver une seconde période non alignée ; sinon, la double périodicité elliptique n'est pas établie.

Les points du bord d'un parallélogramme fondamental sont identifiés à ceux du bord opposé. Pour compter les zéros, les pôles ou les valeurs prises sans doublon, on choisit un domaine dont le bord ne passe pas par eux, ou l'on adopte une convention cohérente sur les côtés inclus.

Le parallélogramme fondamental n'est pas unique. Remplacer les deux périodes par une autre base du même réseau peut modifier son dessin sans modifier l'objet. Il faut comparer les réseaux engendrés, et non la seule apparence des cellules.

La fonction de Weierstrass fournit l'exemple canonique construit directement à partir d'un réseau de périodes.

L'article Des nombres pas si complexes consolide la lecture du plan complexe dans lequel se déploient les deux périodes.